ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 934 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите область значений функции:

a) \( y = x^2 \), где \( 0 \leq x \leq 100 \);

б) \( y = x^3 \), где \( 1 \leq x \leq 27 \);

в) \( y = (x — 3)^{\frac{1}{4}} \), где \( 3 \leq x \leq 19 \);

г) \( y = (x + 5)^{\frac{1}{3}} \), где \( -4 \leq x \leq 22 \).

Найти множество значений:

а) \( y(x) = x^{\frac{1}{2}}, \ 0 \leq x \leq 100; \)
Функция \( y = x^{\frac{1}{2}} \) возрастает:
\( y(0) = 0^{\frac{1}{2}} = 0; \)

\( y(100) = 100^{\frac{1}{2}} = 10; \)

Ответ: \( E(y) = [0; 10]. \)

б) \( y(x) = x^{\frac{2}{3}}, \ 1 \leq x \leq 27; \)
Функция \( y = x^{\frac{2}{3}} \) возрастает:
\( y(1) = 1^{\frac{2}{3}} = 1; \)

\( y(27) = 27^{\frac{2}{3}} = 3^2 = 9; \)

Ответ: \( E(y) = [1; 9]. \)

в) \( y = (x — 3)^{\frac{1}{4}}, \ 3 \leq x \leq 19; \)
Функция \( y = x^{\frac{1}{4}} \) возрастает:

\( y(3) = (0)^{\frac{1}{4}} = 0; \)

\( y(19) = (16)^{\frac{1}{4}} = 2; \)

Ответ: \( E(y) = [0; 2]. \)

г) \( y = (x + 5)^{\frac{1}{3}}, \ -4 \leq x \leq 22; \)
Функция \( y = x^{\frac{1}{3}} \) возрастает:
\( y(-4) = (-9)^{\frac{1}{3}} = -1; \)

\( y(22) = (27)^{\frac{1}{3}} = 3; \)

Ответ: \( E(y) = [-1; 3]. \)

Найти множество значений:

а) \( y(x) = x^{\frac{1}{2}}, \ 0 \leq x \leq 100; \)

Для функции \( y(x) = x^{\frac{1}{2}} \) (квадратный корень), определено, что квадратный корень из любого неотрицательного числа существует. Таким образом, на отрезке \( 0 \leq x \leq 100 \), функция будет возрастать, начиная с 0 при \( x = 0 \) и достигая \( 10 \) при \( x = 100 \), так как \( \sqrt{100} = 10 \).

Наибольшее значение функции будет при \( x = 100 \), где \( y(100) = 10 \), а наименьшее значение при \( x = 0 \), где \( y(0) = 0 \).

Ответ: \( E(y) = [0; 10]. \)

б) \( y(x) = x^{\frac{2}{3}}, \ 1 \leq x \leq 27; \)

Для функции \( y(x) = x^{\frac{2}{3}} \) (второй корень из куба), функция будет возрастать на интервале \( 1 \leq x \leq 27 \), так как степень \( \frac{2}{3} \) является дробной и положительной. Для минимального значения \( x = 1 \), получаем \( y(1) = 1^{\frac{2}{3}} = 1 \), а для максимального \( x = 27 \), получаем \( y(27) = 27^{\frac{2}{3}} = (3^3)^{\frac{2}{3}} = 3^2 = 9 \).

Таким образом, наибольшее значение функции будет при \( x = 27 \), где \( y(27) = 9 \), а наименьшее значение при \( x = 1 \), где \( y(1) = 1 \).

Ответ: \( E(y) = [1; 9]. \)

в) \( y = (x — 3)^{\frac{1}{4}}, \ 3 \leq x \leq 19; \)

Функция \( y = (x — 3)^{\frac{1}{4}} \) возрастает, так как степень \( \frac{1}{4} \) является дробной и положительной. Для вычисления значений функции, необходимо, чтобы \( x — 3 \geq 0 \), что выполняется на интервале \( 3 \leq x \leq 19 \). Наименьшее значение функции будет при \( x = 3 \), где \( y(3) = (3 — 3)^{\frac{1}{4}} = 0 \), а наибольшее значение при \( x = 19 \), где \( y(19) = (19 — 3)^{\frac{1}{4}} = 16^{\frac{1}{4}} = 2 \).

Ответ: \( E(y) = [0; 2]. \)

г) \( y = (x + 5)^{\frac{1}{3}}, \ -4 \leq x \leq 22; \)

Для функции \( y = (x + 5)^{\frac{1}{3}} \), кубический корень существует для всех действительных чисел, и функция возрастает на интервале \( -4 \leq x \leq 22 \). Для минимального значения \( x = -4 \), получаем \( y(-4) = (-4 + 5)^{\frac{1}{3}} = 1^{\frac{1}{3}} = 1 \). Для максимального значения \( x = 22 \), получаем \( y(22) = (22 + 5)^{\frac{1}{3}} = 27^{\frac{1}{3}} = 3 \).

Таким образом, наименьшее значение функции будет при \( x = -4 \), где \( y(-4) = -1 \), а наибольшее значение при \( x = 22 \), где \( y(22) = 3 \).

Ответ: \( E(y) = [-1; 3]. \)