ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 933 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Укажите область определения функции:

a) \( y = x^{\frac{1}{3}} \);

б) \( y = (x — 3)^{\frac{5}{2}} \);

в) \( y = (x + 6)^{-0.25} \);

г) \( y = \frac{1}{(x — 2)^{0.5}} \).

Найти область определения:

a) \( y = x^{\frac{1}{3}} \);

Область определения: \( x^{\frac{1}{3}} \in \mathbb{R}, x \geq 0; \)
Ответ: \( D(x) = [0; +\infty). \)

б) \( y = (x — 3)^{\frac{2}{5}}; \)
Область определения: \( x — 3 \geq 0, x \geq 3; \)
Ответ: \( D(x) = [3; +\infty). \)

\( y = (x + 6)^{-0,25}; \)
Область определения: \( x + 6 > 0, x > -6; \)
Ответ: \( D(x) = (-6; +\infty). \)

г) \( y = \frac{1}{(x — 2)^{0,5}}; \)
Область определения: \( x — 2 > 0, x > 2; \)
Ответ: \( D(x) = (2; +\infty). \)

Найти область определения:

a) \( y = x^{\frac{1}{3}} \);

Для функции \( y = \frac{1}{x^3} \) необходимо учитывать, что знаменатель не может быть равен нулю, так как деление на ноль невозможно. Знаменатель функции равен \( x^3 \), и это выражение равно нулю, если \( x = 0 \). Таким образом, чтобы избежать деления на ноль, необходимо исключить \( x = 0 \) из области определения. Все остальные значения \( x \) подходят для функции, так как куб \( x \) определён для всех действительных чисел, и функция не имеет ограничений на их значение.

Следовательно, область определения функции состоит из всех значений \( x \), кроме нуля, то есть:

Ответ: \( D(x) = [0; +\infty). \)

б) \( y = (x — 3)^{\frac{2}{5}} \);

Функция \( y = (x — 3)^{\frac{2}{5}} \) включает дробную степень, и для её корректного вычисления необходимо, чтобы выражение под степенью было определённым для всех действительных чисел. В данном случае степень \( \frac{2}{5} \) является положительной дробной, что означает, что для значения \( x — 3 \) оно может быть как положительным, так и отрицательным, так как извлечение корня из отрицательного числа возможно для вещественных чисел. Однако, важно, чтобы \( x — 3 \) не было отрицательным бесконечно малым значением, так как степень \( \frac{2}{5} \) требует вычислений корня. Таким образом, \( x — 3 \geq 0 \), что даёт условие \( x \geq 3 \).

Следовательно, область определения данной функции — все значения \( x \), такие что \( x \geq 3 \).

Ответ: \( D(x) = [3; +\infty) \).

в) \( y = (x + 6)^{-0,25} \);

Для функции \( y = (x + 6)^{-0,25} \) необходимо учитывать, что дробная степень с отрицательным показателем означает, что выражение под степенью будет возведено в обратную величину, то есть \( (x + 6)^{0,25} \) является четвёртым корнем из выражения \( x + 6 \). Поскольку извлечение корня из отрицательного числа даёт комплексное число, то для корректного вычисления \( x + 6 \) должно быть положительным, то есть \( x + 6 > 0 \). Это даёт условие \( x > -6 \).

Таким образом, область определения функции \( y = (x + 6)^{-0,25} \) — все значения \( x \), такие что \( x > -6 \).

Ответ: \( D(x) = (-6; +\infty) \).

г) \( y = \frac{1}{(x — 2)^{0,5}} \);

В выражении \( y = \frac{1}{(x — 2)^{0,5}} \) знаменатель функции включает квадратный корень из \( x — 2 \). Квадратный корень из отрицательного числа для вещественных чисел не существует, поэтому для того, чтобы эта функция была определена, выражение под квадратным корнем должно быть строго положительным, то есть \( x — 2 > 0 \). Это даёт условие \( x > 2 \).

Таким образом, область определения функции \( y = \frac{1}{(x — 2)^{0,5}} \) состоит из всех значений \( x \), таких что \( x > 2 \).

Ответ: \( D(x) = (2; +\infty) \).