ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 930 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Представьте арифметический корень в виде степени с рациональным показателем (a > 0, n ∈ N):

a) \( \sqrt{29} \);
б) \( \sqrt[3]{3^{-1}} \);
в) \( \sqrt{a^2} \);
г) \( \sqrt[3]{a^3} \);
д) \( \sqrt{a^2} \);
е) \( \sqrt[5]{(a + 5)^4} \).

Записать в виде степени:

a) \( \sqrt{29} = 29^{\frac{1}{2}}; \)
б) \( \sqrt[3]{5} = 5^{\frac{2}{3}}; \)
в) \( \sqrt[4]{3^{-1}} = 3^{-\frac{1}{4}}; \)
г) \( \sqrt[5]{7^{-2}} = 7^{-\frac{2}{5}}; \)
д) \( \sqrt[n]{a^2} = a^{\frac{2}{n}}; \)
е) \( \sqrt[n]{a^{-3}} = a^{-\frac{3}{n}}; \)
ж) \( \sqrt[n]{(a + 2)^5} = (a + 2)^{\frac{5}{n}}; \)
з) \( \sqrt[n]{(a + 5)^{-4}} = (a + 5)^{-\frac{4}{n}}. \)

Записать в виде степени:

a) \( \sqrt{29} \):

Корень второй степени из числа \( 29 \) можно записать как степень с показателем \( \frac{1}{2} \). Корень любой степени можно представить в виде степени с показателем дроби. В данном случае это выглядит так:

\[
\sqrt{29} = 29^{\frac{1}{2}}.
\]

b) \( \sqrt[3]{5} \):

Корень третьей степени из числа \( 5 \) записывается как степень с показателем \( \frac{2}{3} \). Это означает, что мы извлекаем кубический корень из числа \( 5 \), что эквивалентно возведению числа \( 5 \) в степень \( \frac{2}{3} \):

\[
\sqrt[3]{5} = 5^{\frac{2}{3}}.
\]

в) \( \sqrt[4]{3^{-1}} \):

Корень четвертой степени из \( 3^{-1} \) записывается как степень с показателем \( -\frac{1}{4} \). Здесь мы извлекаем корень четвертой степени из числа \( 3^{-1} \), что эквивалентно записи \( 3^{-1} \) в степени \( \frac{1}{4} \):

\[
\sqrt[4]{3^{-1}} = 3^{-\frac{1}{4}}.
\]

г) \( \sqrt[5]{7^{-2}} \):

Корень пятой степени из \( 7^{-2} \) записывается как степень с показателем \( -\frac{2}{5} \). Пятый корень из числа \( 7^{-2} \) равен \( 7^{-2} \) в степени \( \frac{1}{5} \), что дает следующий результат:

\[
\sqrt[5]{7^{-2}} = 7^{-\frac{2}{5}}.
\]

д) \( \sqrt[n]{a^2} \):

Корень степени \( n \) из \( a^2 \) записывается как степень с показателем \( \frac{2}{n} \). Это связано с тем, что извлечение корня можно представить как возведение в степень с дробным показателем. Таким образом:

\[
\sqrt[n]{a^2} = a^{\frac{2}{n}}.
\]

е) \( \sqrt[n]{a^{-3}} \):

Корень степени \( n \) из \( a^{-3} \) записывается как степень с показателем \( -\frac{3}{n} \). Так же, как и в предыдущем случае, корень можно представить как дробь, и отрицательная степень означает обратную величину:

\[
\sqrt[n]{a^{-3}} = a^{-\frac{3}{n}}.
\]

ж) \( \sqrt[n]{(a + 2)^5} \):

Корень степени \( n \) из \( (a + 2)^5 \) записывается как степень с показателем \( \frac{5}{n} \). Поскольку мы извлекаем корень степени \( n \) из выражения \( (a + 2)^5 \), то это будет эквивалентно записи \( (a + 2)^{\frac{5}{n}} \):

\[
\sqrt[n]{(a + 2)^5} = (a + 2)^{\frac{5}{n}}.
\]

з) \( \sqrt[n]{(a + 5)^{-4}} \):

Корень степени \( n \) из \( (a + 5)^{-4} \) записывается как степень с показателем \( -\frac{4}{n} \). Это аналогично предыдущим шагам, только с отрицательной степенью, что означает взятие обратной величины:

\[
\sqrt[n]{(a + 5)^{-4}} = (a + 5)^{-\frac{4}{n}}.
\]

Ответ:

\( \sqrt{29} = 29^{\frac{1}{2}} \)

\( \sqrt[3]{5} = 5^{\frac{2}{3}} \)

\( \sqrt[4]{3^{-1}} = 3^{-\frac{1}{4}} \)

\( \sqrt[5]{7^{-2}} = 7^{-\frac{2}{5}} \)

\( \sqrt[n]{a^2} = a^{\frac{2}{n}} \)

\( \sqrt[n]{a^{-3}} = a^{-\frac{3}{n}} \)

\( \sqrt[n]{(a + 2)^5} = (a + 2)^{\frac{5}{n}} \)

\( \sqrt[n]{(a + 5)^{-4}} = (a + 5)^{-\frac{4}{n}} \)