ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 929 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите три числа, составляющих геометрическую прогрессию, если известно, что их сумма равна 7, а сумма их квадратов равна 21.

Геометрическая прогрессия:
\( S_3 = 7, \ b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 = 21; \)

1) Из первого равенства:

\[
S_3 = b_1 \cdot \frac{q^3 — 1}{q — 1} = 7;
\]

\[
b_1(q — 1)(q^2 + q + 1) = 7;
\]

\[
b_1(q^2 + q + 1) = 7;
\]

\[
b_1 = \frac{7}{q^2 + q + 1}.
\]

2) Из второго равенства:

\[
S_3 = b_1^2 \cdot \frac{q^6 — 1}{q^2 — 1} = 21;
\]

\[
b_1^2 \cdot \frac{(q^3 — 1)(q^2 + 1)}{(q — 1)(q + 1)} = 21;
\]

\[
7 \cdot 7(q + 1)(q^2 — q + 1) = 21;
\]

\[
7(q^2 — q + 1) = 3(q^2 + q + 1);
\]

\[
7q^2 — 7q + 7 = 3q^2 + 3q + 3;
\]

\[
4q^2 — 10q + 4 = 0;
\]

\[
2q^2 — 5q + 2 = 0.
\]

Решение квадратного уравнения:

\[
D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9,
\]

тогда:

\[
q_1 = \frac{5 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \quad q_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2.
\]

Нахождение членов прогрессии:

\[
b_{1,1} = \frac{7}{4}, \quad b_{1,2} = \frac{7}{4 + 2 + 1} = 1;
\]

\[
b_{2,1} = b_{1,1} \cdot q = 2, \quad b_{2,2} = b_{1,2} \cdot q = 2;
\]

\[
b_{3,1} = b_{2,1} \cdot q = 1, \quad b_{3,2} = b_{2,2} \cdot q = 4.
\]

Ответ: \( 4; 2; 1 \) или \( 1; 2; 4 \).

Геометрическая прогрессия:

Дано: \( S_3 = 7 \), \( b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 = 21 \)

Шаг 1: Из первого равенства находим \( b_1 \).

Используем формулу для суммы первых трех членов геометрической прогрессии \( S_3 = b_1 \cdot \frac{q^3 — 1}{q — 1} \). Подставим значение \( S_3 = 7 \):

\[
S_3 = b_1 \cdot \frac{q^3 — 1}{q — 1} = 7
\]

Теперь умножим обе части уравнения на \( (q — 1) \):

\[
b_1(q — 1)(q^2 + q + 1) = 7
\]

Упростим выражение:

\[
b_1(q^2 + q + 1) = 7
\]

Делим обе части уравнения на \( (q^2 + q + 1) \), получаем:

\[
b_1 = \frac{7}{q^2 + q + 1}
\]

Шаг 2: Из второго равенства.

Теперь рассмотрим второе равенство, которое содержит сумму квадратов членов прогрессии:

\[
b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 = 21
\]

Используем формулу для суммы квадратов членов геометрической прогрессии, подставляем значения и упростим:

\[
S_3 = b_1^2 \cdot \frac{q^6 — 1}{q^2 — 1} = 21
\]

Раскроем выражение:

\[
b_1^2 \cdot \frac{(q^3 — 1)(q^2 + 1)}{(q — 1)(q + 1)} = 21
\]

Подставляем значение \( b_1 = 7 \) (из шага 1) в это уравнение:

\[
7 \cdot 7(q + 1)(q^2 — q + 1) = 21
\]

Продолжаем упрощение:

\[
7(q^2 — q + 1) = 3(q^2 + q + 1)
\]

Раскрываем скобки:

\[
7q^2 — 7q + 7 = 3q^2 + 3q + 3
\]

Переносим все элементы на одну сторону:

\[
4q^2 — 10q + 4 = 0
\]

Делим на 2 для упрощения:

\[
2q^2 — 5q + 2 = 0
\]

Шаг 3: Решаем квадратное уравнение.

Для решения квадратного уравнения используем формулу дискриминанта:

\[
D = (-5)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9
\]

Теперь находим корни уравнения:

\[
q_1 = \frac{-(-5) — \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 — 3}{4} = \frac{2}{4} =\]

\[\frac{1}{2}, \quad q_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2
\]

Шаг 4: Нахождение членов прогрессии.

Теперь, используя значения для \( q \), находим значения для членов прогрессии:

Для \( q_1 = \frac{1}{2} \):

\[
b_{1,1} = \frac{7}{4}, \quad b_{1,2} = \frac{7}{4 + 2 + 1} = 1
\]

Для \( q_2 = 2 \):

\[
b_{2,1} = b_{1,1} \cdot q = \frac{7}{4} \cdot \frac{1}{2} = 2, \quad b_{2,2} = b_{1,2} \cdot q = 2
\]

Для третьего члена прогрессии:

\[
b_{3,1} = b_{2,1} \cdot q = 1, \quad b_{3,2} = b_{2,2} \cdot q = 4
\]

Ответ: \( 4; 2; 1 \) или \( 1; 2; 4 \).