ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 926 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Задайте формулой функцию, обратную данной:
a) \( y = 2x — 1 \), где \( x \in [-3; 3] \);
б) \( y = x^2 — 2x + 2 \), где \( x \in (-\infty; 1] \).

Найти обратную функцию:

а) \(y = 2x — 1\), \(x \in [-3; 3]\):
Множество значений:
\(y(-3) = -6 — 1 = -7\);

\(y(3) = 6 — 1 = 5\).

Обратная функция:
\(x = 2y — 1\);

\(2y = x + 1\), \(y = \frac{x + 1}{2}\).

Ответ: \(y = \frac{x + 1}{2}\), \(x \in [-7; 5]\).

б) \(y = x^2 — 2x + 2\), \(x \in (-\infty; 1]\):
Множество значений:
\(x_0 = \frac{-2}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1\);

\(y_0 = 1 — 2 + 2 = 1\).

Обратная функция:
\(x = y^2 — 2y + 2\);

\(x — 1 = y^2 — 2y + 1\);

\((y — 1)^2 = x — 1\);

\(y — 1 = -\sqrt{x — 1}\), \(y = 1 — \sqrt{x — 1}\).

Ответ: \(y = 1 — \sqrt{x — 1}\), \(x \in [1; +\infty)\).

a) \( y = 2x — 1 \), \( x \in [-3; 3] \)

Шаг 1: Найдем множество значений для функции \( y = 2x — 1 \). Подставим крайние значения \( x = -3 \) и \( x = 3 \):

Для \( x = -3 \):

\( y(-3) = 2(-3) — 1 = -6 — 1 = -7 \)

Для \( x = 3 \):

\( y(3) = 2(3) — 1 = 6 — 1 = 5 \)

Шаг 2: Теперь найдем обратную функцию, решив исходное уравнение относительно \( x \):

\( y = 2x — 1 \)

Перепишем его как:

\( y + 1 = 2x \)

\( x = \frac{y + 1}{2} \)

Шаг 3: Множество значений для обратной функции будет \( x \in [-7; 5] \), так как \( y \in [-7; 5] \) (значения для \( x \in [-3; 3] \)).

Ответ: \( y = \frac{x + 1}{2} \), \( x \in [-7; 5] \)

b) \( y = x^2 — 2x + 2 \), \( x \in (-\infty; 1] \)

Шаг 1: Найдем множество значений для функции \( y = x^2 — 2x + 2 \) на интервале \( x \in (-\infty; 1] \). Для \( x = 1 \):

\( y(1) = 1^2 — 2(1) + 2 = 1 — 2 + 2 = 1 \)

Таким образом, минимальное значение функции \( y = 1 \), и так как парабола открывается вверх, получаем, что \( y \geq 1 \).

Шаг 2: Теперь решим уравнение \( y = x^2 — 2x + 2 \) относительно \( x \):

\( y = x^2 — 2x + 2 \)

Вычитаем 1 из обеих частей уравнения:

\( y — 1 = x^2 — 2x + 1 \)

Это выражение можно представить как полный квадрат:

\( (x — 1)^2 = y — 1 \)

Извлекаем квадратный корень:

\( x — 1 = -\sqrt{y — 1} \) (выбираем отрицательное значение, так как \( x \in (-\infty; 1] \))

Таким образом:

\( x = 1 — \sqrt{y — 1} \)

Шаг 3: Множество значений для обратной функции будет \( x \in [1; +\infty) \), так как \( y \geq 1 \) для \( x \in (-\infty; 1] \).

Ответ: \( y = 1 — \sqrt{x — 1} \), \( x \in [1; +\infty) \)