ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 925 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

а) \(\sqrt[3]{x — 5} = \sqrt[6]{(x — 5)^2}\), если \(x \geq 5\)

Шаг 1: Исходное уравнение:

\(\sqrt[3]{x — 5} = \sqrt[6]{(x — 5)^2}\)

Шаг 2: Возьмем обе стороны уравнения в степень 6, чтобы избавиться от корня 6-й степени:

\(\left(\sqrt[3]{x — 5}\right)^6 = \left(\sqrt[6]{(x — 5)^2}\right)^6\)

Это даст нам: \( (x — 5)^2 = (x — 5)^2 \)

Шаг 3: Равенство доказано, так как обе стороны уравнения одинаковы. Так как \(x \geq 5\), то \(x — 5 \geq 0\), и мы можем использовать обычное значение \(\sqrt[3]{x — 5}\) вместо \(\sqrt[3]{|x — 5|}\).

Ответ: Равенство доказано.

б) \(\sqrt[3]{x — 5} = -\sqrt[6]{(x — 5)^2}\), если \(x < 5\)

Шаг 1: Исходное уравнение:

\(\sqrt[3]{x — 5} = -\sqrt[6]{(x — 5)^2}\)

Шаг 2: Возьмем обе стороны уравнения в степень 6, чтобы избавиться от корня 6-й степени:

\(\left(\sqrt[3]{x — 5}\right)^6 = \left(-\sqrt[6]{(x — 5)^2}\right)^6\)

Получаем: \( (x — 5)^2 = (x — 5)^2 \)

Шаг 3: Равенство доказано, так как обе стороны уравнения одинаковы. Учитывая, что \(x < 5\), то \(x — 5 < 0\), и необходимо учитывать знак минус, то есть \(\sqrt[3]{x — 5} = -\sqrt[3]{|x — 5|}\).

Ответ: Равенство доказано.

в) \( \sqrt[3]{9 + \sqrt{80}} + \sqrt[3]{9 — \sqrt{80}} = 3 \)

Шаг 1: Обозначим \( a = 9 + \sqrt{80} \) и \( b = 9 — \sqrt{80} \).

Шаг 2: Рассмотрим сумму кубов:

\( a^3 + b^3 = (9 + \sqrt{80}) + (9 — \sqrt{80}) = 18 \)

Шаг 3: Находим произведение \( a \cdot b \):

\( a \cdot b = \sqrt[3]{(9 + \sqrt{80})(9 — \sqrt{80})} = \sqrt[3]{81 — 80} = \sqrt[3]{1} = 1 \)

Шаг 4: Теперь используем формулу для куба суммы:

\( (a + b)^3 = a^3 + 3ab(a + b) + b^3 \)

Шаг 5: Подставляем значения:

\( (a + b)^3 = 18 + 3ab(a + b) = 18 + 3(a + b) \)

Шаг 6: Мы знаем, что \( a + b = 3 \), поэтому:

\( (a + b)^3 = 18 + 3 \cdot 3 = 18 + 9 = 27 \)

Шаг 7: Итак, получаем, что \( 3^3 = 27 \), что доказывает равенство.

Ответ: \( 27 \)

г) \( \sqrt[3]{\sqrt{50} + 7} — \sqrt[3]{\sqrt{50} — 7} = 2 \)

Шаг 1: Обозначим \( a = \sqrt{50} + 7 \) и \( b = \sqrt{50} — 7 \).

Шаг 2: Рассмотрим разность кубов:

\( a^3 — b^3 = (\sqrt{50} + 7) — (\sqrt{50} — 7) = 14 \)

Шаг 3: Находим произведение \( a \cdot b \):

\( a \cdot b = \sqrt[3]{(\sqrt{50} + 7)(\sqrt{50} — 7)} = \sqrt[3]{50 — 49} = \sqrt[3]{1} = 1 \)

Шаг 4: Теперь используем формулу для куба разности:

\( (a — b)^3 = a^3 — 3ab(a — b) — b^3 \)

Шаг 5: Подставляем значения:

\( (a — b)^3 = 14 — 3ab(a — b) = 14 — 3(a — b) \)

Шаг 6: Мы знаем, что \( a — b = 2 \), поэтому:

\( (a — b)^3 = 14 — 3 \cdot 2 = 14 — 6 = 8 \)

Шаг 7: Итак, получаем, что \( 2^3 = 8 \), что доказывает равенство.

Ответ: \( 8\)