ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 924 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а) \( \frac{\sqrt{4x}}{\sqrt{y} — 4 \sqrt{xy}} + \frac{\sqrt{4y}}{\sqrt{x} — 4 \sqrt{xy}} \cdot \left( \sqrt{x^2 y — 4 \sqrt{xy^2}} \right) \);

б) \( \frac{\sqrt{4b} + 2}{\sqrt{b — 2\sqrt{b} + 1}} + \frac{\sqrt{b + 2}}{\sqrt{b — 1}} \);

в) \( \frac{\sqrt[3]{x} + 2 \sqrt[3]{x}}{x + 2 \sqrt[3]{x^5}} \);

г) \( \frac{\sqrt[5]{5} + 2 \sqrt[5]{4} + 4 \sqrt[5]{3}}{\sqrt[4]{y^4} + 4 \sqrt[5]{y^2}} + \frac{8}{\sqrt[4]{y^2} — 2 \sqrt{y} + 4} \).

Упростить выражение:

a)
\[
\left( \frac{\sqrt[4]{x}}{\sqrt[4]{y} — \sqrt[4]{xy}} + \frac{\sqrt[4]{y}}{\sqrt[4]{x} — \sqrt[4]{xy}} \right) \cdot \left( \sqrt[4]{x^2y} — \sqrt[4]{xy^2} \right) =
\]

\[
= \left( \frac{\sqrt[4]{x} \cdot \left( \sqrt[4]{x} — \sqrt[4]{xy} \right) + \sqrt[4]{y} \cdot \left( \sqrt[4]{y} — \sqrt[4]{xy} \right)}{\sqrt[4]{x} \cdot \left( \sqrt[4]{y} — \sqrt[4]{xy} \right)} \right) \cdot \sqrt[4]{xy} \cdot \left( \sqrt[4]{x} — \sqrt[4]{y} \right) =
\]

\[
= -\sqrt[4]{x^2} + \sqrt[4]{y^2} = \sqrt{y} — \sqrt{x}.
\]

б)
\[
\left( \frac{\sqrt[4]{b} + 2}{\sqrt[4]{b} — 2\sqrt[4]{b} + 1} + \frac{\sqrt[4]{b} + 2}{\sqrt[4]{b} — 1} \right) \cdot \frac{\sqrt[4]{b}}{\sqrt[4]{b} + 1} =
\]

\[
= \frac{\sqrt[4]{b} + 2}{\left( \sqrt[4]{b} — 1 \right)^2} + \frac{\sqrt[4]{b} + 2}{\sqrt[4]{b} — 1} \cdot \frac{\sqrt[4]{b} + 1}{\sqrt[4]{b}} =
\]

\[
= \frac{\left( \sqrt[4]{b} + 2 \right) \cdot \left( \sqrt[4]{b} + 1 + \sqrt[4]{b} — 1 \right)}{\sqrt[4]{b} \cdot \left( \sqrt[4]{b} — 1 \right)^2} =
\]

\[
= \frac{\left( \sqrt[4]{b} + 2 \right) \cdot 2\sqrt[4]{b}}{\left( \sqrt[4]{b} — 1 \right)^2} = \frac{2\sqrt[4]{b} + 4}{\left( \sqrt[4]{b} — 1 \right)^2}.
\]

в)
\[
\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[6]{x} + 2\sqrt[3]{x}} + \frac{2\sqrt[6]{x^5}}{\sqrt[3]{x} + 2\sqrt[6]{x^5}} =
\]

\[
= \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[6]{x}(\sqrt[6]{x} + 2)} + \frac{2\sqrt[6]{x^5}}{\sqrt[6]{x^5}(\sqrt[6]{x} + 2)} =
\]

\[
= \frac{\sqrt[6]{x}}{\sqrt[6]{x} + 2} + \frac{2}{\sqrt[6]{x} + 2} =
\]

\[
= \frac{\sqrt[6]{x} + 2}{\sqrt[6]{x} + 2} = 1.
\]

г)
\[
\frac{\sqrt[5]{y^5} + 2\sqrt[5]{y^4} + 4\sqrt[5]{y^3} + 8}{\sqrt[5]{y^4} + 4\sqrt[5]{y^2} + 16} =
\]

\[
= \frac{\sqrt[5]{y^3} \cdot \left( \sqrt[5]{y^2} + 2\sqrt[5]{y} + 4 \right) + 8}{\sqrt[5]{y^2} \cdot \left( \sqrt[5]{y^2} — 2\sqrt[5]{y} + 4 \right)} =
\]

\[
= \frac{\left( \sqrt[5]{y} + 2 \right) \cdot \left( \sqrt[5]{y^2} — 2\sqrt[5]{y} + 4 \right)}{\sqrt[5]{y^2} — 2\sqrt[5]{y} + 4} = \sqrt[5]{y} + 2.
\]

а) \( \left( \frac{\sqrt[4]{x}}{\sqrt[4]{y} — \sqrt[4]{xy}} + \frac{\sqrt[4]{y}}{\sqrt[4]{x} — \sqrt[4]{xy}} \right) \cdot \left( \sqrt[4]{x^2y} — \sqrt[4]{xy^2} \right) = \)

Шаг 1: Сначала преобразуем выражение:

\( \frac{\sqrt[4]{x}}{\sqrt[4]{y} — \sqrt[4]{xy}} + \frac{\sqrt[4]{y}}{\sqrt[4]{x} — \sqrt[4]{xy}} = \frac{\sqrt[4]{x} \cdot (\sqrt[4]{x} — \sqrt[4]{xy}) + \sqrt[4]{y} \cdot (\sqrt[4]{y} — \sqrt[4]{xy})}{\sqrt[4]{x} \cdot (\sqrt[4]{y} — \sqrt[4]{xy})} \)

Шаг 2: Упростим числитель и знаменатель:

Числитель: \( \sqrt[4]{x} \cdot (\sqrt[4]{x} — \sqrt[4]{xy}) + \sqrt[4]{y} \cdot (\sqrt[4]{y} — \sqrt[4]{xy}) \)

Знаменатель: \( \sqrt[4]{x} \cdot (\sqrt[4]{y} — \sqrt[4]{xy}) \)

Шаг 3: Умножаем результат на \( \sqrt[4]{xy} \) и раскрываем скобки:

\( \left( \frac{…}{…} \right) \cdot \sqrt[4]{xy} \cdot (\sqrt[4]{x} — \sqrt[4]{y}) \)

Шаг 4: Упростим и получим окончательный результат:

\( = -\sqrt[4]{x^2} + \sqrt[4]{y^2} = \sqrt{y} — \sqrt{x} \)

Ответ: \( \sqrt{y} — \sqrt{x} \)

б) \( \left( \frac{\sqrt[4]{b} + 2}{\sqrt[4]{b} — 2\sqrt[4]{b} + 1} + \frac{\sqrt[4]{b} + 2}{\sqrt[4]{b} — 1} \right) \cdot \frac{\sqrt[4]{b}}{\sqrt[4]{b} + 1} = \)

Шаг 1: Объединяем дроби с общим знаменателем:

\( \frac{\sqrt[4]{b} + 2}{\sqrt[4]{b} — 2\sqrt[4]{b} + 1} + \frac{\sqrt[4]{b} + 2}{\sqrt[4]{b} — 1} \)

Шаг 2: Упрощаем числитель и знаменатель:

\( \frac{\sqrt[4]{b} + 2}{(\sqrt[4]{b} — 1)^2} + \frac{\sqrt[4]{b} + 2}{\sqrt[4]{b} — 1} \cdot \frac{\sqrt[4]{b} + 1}{\sqrt[4]{b}} \)

Шаг 3: Умножаем числитель и знаменатель, получаем:

\( \frac{(\sqrt[4]{b} + 2)(\sqrt[4]{b} + 1 + \sqrt[4]{b} — 1)}{\sqrt[4]{b} \cdot (\sqrt[4]{b} — 1)^2} \)

Шаг 4: Упростим результат:

\( \frac{(\sqrt[4]{b} + 2) \cdot 2\sqrt[4]{b}}{(\sqrt[4]{b} — 1)^2} = \frac{2\sqrt[4]{b} + 4}{(\sqrt[4]{b} — 1)^2} \)

Ответ: \( \frac{2\sqrt[4]{b} + 4}{(\sqrt[4]{b} — 1)^2} \)

в) \( \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[6]{x} + 2\sqrt[3]{x}} + \frac{2\sqrt[6]{x^5}}{\sqrt[3]{x} + 2\sqrt[6]{x^5}} = \)

Шаг 1: Начнем с преобразования дробей в более удобный вид. Перепишем первую дробь, выразив числитель и знаменатель через \( \sqrt[6]{x} \):

\( \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[6]{x} + 2\sqrt[3]{x}} \)

Преобразуем \( \sqrt[3]{x} \) в \( \sqrt[6]{x} \):

\( = \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[6]{x} (\sqrt[6]{x} + 2)} \)

Шаг 2: Аналогично преобразуем вторую дробь:

\( \frac{2\sqrt[6]{x^5}}{\sqrt[3]{x} + 2\sqrt[6]{x^5}} \)

Преобразуем \( \sqrt[3]{x} \) в \( \sqrt[6]{x} \), а \( \sqrt[6]{x^5} \) в \( \sqrt[6]{x^5} \), получаем:

\( = \frac{2\sqrt[6]{x^5}}{\sqrt[6]{x^5}(\sqrt[6]{x} + 2)} \)

Шаг 3: Теперь у нас есть два выражения с общим знаменателем. Объединяем их:

\( \frac{\sqrt[6]{x}}{\sqrt[6]{x} + 2} + \frac{2}{\sqrt[6]{x} + 2} \)

Шаг 4: Объединяем числитель:

\( = \frac{\sqrt[6]{x} + 2}{\sqrt[6]{x} + 2} \)

Шаг 5: Упрощаем выражение, так как числитель и знаменатель одинаковы:

\( = 1 \)

Ответ: 1

г) \( \frac{\sqrt[5]{y^5} + 2\sqrt[5]{y^4} + 4\sqrt[5]{y^3} + 8}{\sqrt[5]{y^4} + 4\sqrt[5]{y^2} + 16} = \)

Шаг 1: Разбиваем числитель на компоненты:

\( \frac{\sqrt[5]{y^3} \cdot (\sqrt[5]{y^2} + 2\sqrt[5]{y} + 4) + 8}{\sqrt[5]{y^2} \cdot (\sqrt[5]{y^2} — 2\sqrt[5]{y} + 4)} \)

Шаг 2: Упрощаем выражение:

\( = \frac{(\sqrt[5]{y} + 2) \cdot (\sqrt[5]{y^2} — 2\sqrt[5]{y} + 4)}{\sqrt[5]{y^2} — 2\sqrt[5]{y} + 4} \)

Шаг 3: Получаем итоговый результат:

\( = \sqrt[5]{y} + 2 \)

Ответ: \( \sqrt[5]{y} + 2 \)