ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 923 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите значение выражения:

\[
\frac{1}{x+1} + \frac{1}{y+1}
\]

при \( x = 2 + \sqrt{3} \), \( y = 2 — \sqrt{3} \).

Найти значение выражения:
\( x = 2 + \sqrt{3}, \, y = 2 — \sqrt{3}; \)

\[
\frac{1}{x+1} + \frac{1}{y+1} = \frac{x+1 + y+1}{(x+1)(y+1)} =
\]

\[
= \frac{(2 + \sqrt{3} + 1) + (2 — \sqrt{3} + 1)}{(2 + \sqrt{3} + 1)(2 — \sqrt{3} + 1)} =
\]

\[
= \frac{2 + \sqrt{3} + 1 + 2 — \sqrt{3} + 1}{(3 + \sqrt{3})(3 — \sqrt{3})} =
\]

\[
= \frac{6}{9 — 3} = 1;
\]

Ответ: 1.

Задано: \( x = 2 + \sqrt{3}, \, y = 2 — \sqrt{3} \)

Шаг 1: Рассматриваем исходное выражение:

\( \frac{1}{x+1} + \frac{1}{y+1} \)

Шаг 2: Объединяем обе дроби с одинаковым знаменателем:

Чтобы сложить дроби, приводим их к общему знаменателю. Мы получаем:

\( \frac{1}{x+1} + \frac{1}{y+1} = \frac{(x+1) + (y+1)}{(x+1)(y+1)} \)

Шаг 3: Подставляем значения \( x \) и \( y \):

Так как \( x = 2 + \sqrt{3} \) и \( y = 2 — \sqrt{3} \), подставим их в числитель и знаменатель:

\( x + 1 = (2 + \sqrt{3}) + 1 = 3 + \sqrt{3} \)

\( y + 1 = (2 — \sqrt{3}) + 1 = 3 — \sqrt{3} \)

Теперь числитель выглядит так:

\( (3 + \sqrt{3}) + (3 — \sqrt{3}) = 6 \)

Шаг 4: Упростим знаменатель:

Знаменатель представляет собой произведение двух выражений: \( (x + 1) \) и \( (y + 1) \). Подставим выражения для \( x+1 \) и \( y+1 \):

\( (3 + \sqrt{3})(3 — \sqrt{3}) \)

Используем формулу разности квадратов \( (a + b)(a — b) = a^2 — b^2 \), где \( a = 3 \) и \( b = \sqrt{3} \):

\( (3 + \sqrt{3})(3 — \sqrt{3}) = 3^2 — (\sqrt{3})^2 = 9 — 3 = 6 \)

Шаг 5: Получаем итоговое выражение:

Теперь, когда числитель и знаменатель упрощены, получаем дробь:

\( \frac{6}{6} = 1 \)

Ответ: 1