ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 922 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Представьте выражение в виде дроби с целым рациональным знаменателем:

а) \( \frac{1}{b — \sqrt{x}} \);
б) \( \frac{1}{\sqrt{a} — \sqrt[3]{b}} \);
в) \( \frac{1}{\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}} \);
г) \( \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x^2} + x} \);
д) \( \frac{\sqrt[3]{a^2b^2}}{\sqrt{a^2 — \sqrt{ab} + \sqrt{b^2}}} \);
е) \( \frac{1}{6\sqrt{y} — \sqrt{y}} \).

Представить число в виде дроби с рациональным знаменателем:

a)
\[
\frac{1}{b — \sqrt{x}} = \frac{b + \sqrt{x}}{(b — \sqrt{x})(b + \sqrt{x})} = \frac{b + \sqrt{x}}{b^2 — x};
\]

б)
\[
\frac{1}{\sqrt{a} — \sqrt[4]{b}} = \frac{\sqrt{a} + \sqrt[4]{b}}{(\sqrt{a} — \sqrt[4]{b})(\sqrt{a} + \sqrt[4]{b})} = \frac{\sqrt{a} + \sqrt[4]{b}}{a — \sqrt{b}} =
\]

\[
= \frac{(\sqrt{a} + \sqrt[4]{b})(a + \sqrt[4]{b})}{a^2 — b} = \frac{a\sqrt{a} + a\sqrt[4]{b} + \sqrt{ab} + \sqrt[4]{b^3}}{a^2 — b};
\]

в)
\[
\frac{1}{\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}} = \frac{\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}}{(\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2})} = \frac{\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}}{a — b};
\]

г)
\[
\frac{\sqrt[3]{a^2b^2}}{\sqrt[3]{a^2} — \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}} = \frac{\sqrt[3]{a^2b^2}(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})}{(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2} — \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2})} =\]

\[\frac{a^3\sqrt[3]{b^2} + b^3\sqrt[3]{a^2}}{a + b};
\]

д)
\[
\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x^2} — \sqrt[3]{x} + x} = \frac{\sqrt[3]{x}(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x})}{(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x})(\sqrt[3]{x^2} — \sqrt[3]{x} + x)} =
\]

\[
= \frac{\sqrt[6]{x^3} + \sqrt[6]{x^5}}{\sqrt[6]{x^3} + \sqrt[6]{x^3}} = \frac{1 + \sqrt[3]{x}}{1 + x};
\]

е)
\[
\frac{\sqrt{y}}{y^2 — y} = \frac{\sqrt{y}(3\sqrt[3]{y^4} + 3\sqrt[3]{y^5} + y^2)}{(y^2 — y)(3\sqrt[3]{y^4} + 3\sqrt[3]{y^5} + y^2)} =
\]

\[
= \frac{\sqrt[3]{y^{11}} + \sqrt[3]{y^{13}}}{y^2 — y} = \frac{\sqrt[6]{y^5} + \sqrt[6]{y^7} + y\sqrt{y}}{y — y^2}.
\]

Представить число в виде дроби с рациональным знаменателем:

а) \( \frac{1}{b — \sqrt{x}} = \frac{b + \sqrt{x}}{(b — \sqrt{x})(b + \sqrt{x})} = \frac{b + \sqrt{x}}{b^2 — x};\)

Шаг 1: Мы умножаем числитель и знаменатель на \( b + \sqrt{x} \), чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:

\( \frac{1}{b — \sqrt{x}} \cdot \frac{b + \sqrt{x}}{b + \sqrt{x}} = \frac{b + \sqrt{x}}{(b — \sqrt{x})(b + \sqrt{x})} \)

Шаг 2: Применяем формулу разности квадратов \( (b — \sqrt{x})(b + \sqrt{x}) = b^2 — x \), получаем:

\( \frac{b + \sqrt{x}}{b^2 — x} \)

Ответ: \( \frac{b + \sqrt{x}}{b^2 — x} \)

б) \( \frac{1}{\sqrt{a} — \sqrt[4]{b}} = \frac{\sqrt{a} + \sqrt[4]{b}}{(\sqrt{a} — \sqrt[4]{b})(\sqrt{a} + \sqrt[4]{b})} = \frac{\sqrt{a} + \sqrt[4]{b}}{a — \sqrt{b}} = \)

Шаг 1: Мы умножаем числитель и знаменатель на сопряженное выражение \( \sqrt{a} + \sqrt[4]{b} \), чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:

\( \frac{1}{\sqrt{a} — \sqrt[4]{b}} \cdot \frac{\sqrt{a} + \sqrt[4]{b}}{\sqrt{a} + \sqrt[4]{b}} \)

Шаг 2: Применяем формулу разности квадратов \( (\sqrt{a} — \sqrt[4]{b})(\sqrt{a} + \sqrt[4]{b}) = a — \sqrt{b} \), получаем:

\( \frac{\sqrt{a} + \sqrt[4]{b}}{a — \sqrt{b}} \)

Шаг 3: Умножаем числитель и знаменатель на \( \sqrt{a} + \sqrt[4]{b} \) снова для упрощения, и далее получаем окончательное выражение:

Ответ: \( \frac{a\sqrt{a} + a\sqrt[4]{b} + \sqrt{ab} + \sqrt[4]{b^3}}{a^2 — b} \)

в) \( \frac{1}{\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}} = \frac{\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}}{(\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2})} = \frac{\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}}{a — b};\)

Шаг 1: Мы умножаем числитель и знаменатель на \( \sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2} \), чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:

\( \frac{1}{\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}} \cdot \frac{\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}} \)

Шаг 2: Применяем формулу разности кубов \( (\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}) = a — b \), получаем:

\( \frac{\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}}{a — b} \)

Ответ: \( \frac{\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}}{a — b} \)

г) \( \frac{\sqrt[3]{a^2b^2}}{\sqrt[3]{a^2} — \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}} = \frac{\sqrt[3]{a^2b^2}(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})}{(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2} — \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2})} = \frac{a^3\sqrt[3]{b^2} + b^3\sqrt[3]{a^2}}{a + b};\)

Шаг 1: Начнем с того, что выражение уже выглядит в виде дроби. Преобразуем числитель и знаменатель с использованием кубов и корней, чтобы привести к удобному виду.

Шаг 2: После упрощения и раскрытия выражений, применяя формулу разности кубов, получаем:

\( \frac{a\sqrt[3]{b^2} + b^3\sqrt[3]{a^2}}{a + b} \)

Ответ: \( \frac{a^3\sqrt[3]{b^2} + b^3\sqrt[3]{a^2}}{a + b} \)

д) \( \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x^2} — \sqrt[3]{x} + x} = \frac{\sqrt[3]{x}(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x})}{(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x})(\sqrt[3]{x^2} — \sqrt[3]{x} + x)} = \frac{1 + \sqrt[3]{x}}{1 + x};\)

Шаг 1: Начнем с того, что умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \) (сопряженное выражение), чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе.

Шаг 2: Применяем разность кубов в знаменателе и упрощаем числитель, чтобы получить окончательную форму:

\( \frac{1 + \sqrt[3]{x}}{1 + x} \)

Ответ: \( \frac{1 + \sqrt[3]{x}}{1 + x} \)

е) \( \frac{\sqrt{y}}{y^2 — y} = \frac{\sqrt{y}(3\sqrt[3]{y^4} + 3\sqrt[3]{y^5} + y^2)}{(y^2 — y)(3\sqrt[3]{y^4} + 3\sqrt[3]{y^5} + y^2)} = \frac{\sqrt[3]{y^{11}} + \sqrt[3]{y^{13}}}{y^2 — y} = \frac{\sqrt[6]{y^5} + \sqrt[6]{y^7} + y\sqrt{y}}{y — y^2};\)

Шаг 1: Мы начинаем с упрощения числителя и знаменателя, приведения к одинаковой степени и упрощения выражений под корнями.

Шаг 2: После упрощения и приведения всех корней к одинаковому виду, получаем:

\( \frac{\sqrt[6]{y^5} + \sqrt[6]{y^7} + y\sqrt{y}}{y — y^2} \)

Ответ: \( \frac{\sqrt[6]{y^5} + \sqrt[6]{y} + y\sqrt{y}}{y — y^2} \)