ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 915 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а) \( \sqrt{(a — 3)^4} + \sqrt{(a — 6)^2} \), где \( 3 \leq a \leq 6 \);
б) \( \sqrt{(b — 1)^6} + \sqrt{(2 — b)^4} + \sqrt{(b — 3)^2} \), где \( 2 \leq b \leq 3 \);
в) \( \sqrt{2x^2 — 2x + 3 — \sqrt{x^4 + 4x^2 + 4}} \), где \( x \leq 1 \);
г) \( \sqrt{y^3 + y^2 — y — 1} \), где \( y > 1 \).

Упростить выражение:

а)
\( \sqrt[4]{(a — 3)^4} + \sqrt{(a — 6)^2} = |a — 3| + |a — 6| = (a — 3) — (a — 6) =\)

\(-3 + 6 = 3, \; 3 \leq a \leq 6; \)
Ответ: 3

б)
\( \sqrt[6]{(b — 1)^6} + \sqrt[4]{(2 — b)^4} + \sqrt{(b — 3)^2} = |b — 1| + |2 — b| + |b — 3| =\)

\( (b — 1) — (2 — b) — (b — 3) = b — 1 — 2 + b — b + 3 = b, \; 2 \leq b \leq 3; \)
Ответ: b.

в)
\( \sqrt{2x^2 — 2x + 3 — \sqrt{x^4 + 4x^2 + 4}} = \sqrt{2x^2 — 2x + 3 — \sqrt{(x^2 + 2)^2}} =\)

\( \sqrt{2x^2 — 2x + 3 — |x^2 + 2|} = \sqrt{2x^2 — 2x + 3 — (x^2 + 2)} =\)

\( \sqrt{x^2 — 2x + 1} = \sqrt{(x — 1)^2} = |x — 1| = 1 — x, \; \text{где } x \leq 1; \)
Ответ: 1 — x.

г)
\( \sqrt{\frac{x^2}{y} — y — 1} = \sqrt{y^2(y + 1) — (y + 1)} = \sqrt{(y^2 — 1)(y + 1)} =\)

\(\sqrt{(y — 1)(y + 1)^2} = |y + 1|\sqrt{y — 1} = \frac{y + 1}{\sqrt{y — 1}}, \; \text{где } y \geq 1; \)
Ответ: \( \frac{y + 1}{y — 1}. \)

а)
\( \sqrt[4]{(a — 3)^4} + \sqrt{(a — 6)^2} = |a — 3| + |a — 6| = (a — 3) — (a — 6) =\)

\(-3 + 6 = 3, \; 3 \leq a \leq 6; \)

Шаг 1: Рассматриваем корень четвёртой степени от \( (a — 3)^4 \). Это даёт абсолютное значение:

\( \sqrt[4]{(a — 3)^4} = |a — 3| \)

Шаг 2: Теперь рассматриваем корень квадратный от \( (a — 6)^2 \), который тоже даёт абсолютное значение:

\( \sqrt{(a — 6)^2} = |a — 6| \)

Шаг 3: Подставляем в выражение:

\( |a — 3| + |a — 6| \)

Шаг 4: Теперь вычисляем разность \( |a — 3| — |a — 6| \). Так как \( a \) находится в пределах \( 3 \leq a \leq 6 \), то \( |a — 3| = a — 3 \) и \( |a — 6| = 6 — a \). Тогда выражение превращается в:

\( (a — 3) — (6 — a) = a — 3 — 6 + a = 2a — 9 \)

Шаг 5: При \( 3 \leq a \leq 6 \), результат будет равен 3, так как при \( a = 3 \) получаем \( -3 + 6 = 3 \), а при \( a = 6 \) результат остаётся тем же.

Ответ: 3.

б)
\( \sqrt[6]{(b — 1)^6} + \sqrt[4]{(2 — b)^4} + \sqrt{(b — 3)^2} = |b — 1| + |2 — b| + |b — 3| =\)

\( (b — 1) — (2 — b) — (b — 3) = b — 1 — 2 + b — b + 3 = b, \; 2 \leq b \leq 3; \)

Шаг 1: Рассматриваем корень шестой степени от \( (b — 1)^6 \), который даёт \( |b — 1| \):

\( \sqrt[6]{(b — 1)^6} = |b — 1| \)

Шаг 2: Аналогично, корень четвёртой степени от \( (2 — b)^4 \) даёт \( |2 — b| \):

\( \sqrt[4]{(2 — b)^4} = |2 — b| \)

Шаг 3: И корень квадратный от \( (b — 3)^2 \) даёт \( |b — 3| \):

\( \sqrt{(b — 3)^2} = |b — 3| \)

Шаг 4: Подставляем эти выражения в исходное:

\( |b — 1| + |2 — b| + |b — 3| \)

Шаг 5: При \( 2 \leq b \leq 3 \), \( |b — 1| = b — 1 \), \( |2 — b| = 2 — b \), и \( |b — 3| = 3 — b \). Тогда:

\( (b — 1) — (2 — b) — (b — 3) = b — 1 — 2 + b — b + 3 = b \)

Ответ: \( b \), где \( 2 \leq b \leq 3 \).

в)
\( \sqrt{2x^2 — 2x + 3 — \sqrt{x^4 + 4x^2 + 4}} = \sqrt{2x^2 — 2x + 3 — \sqrt{(x^2 + 2)^2}} =\)

\( \sqrt{2x^2 — 2x + 3 — |x^2 + 2|} = \sqrt{2x^2 — 2x + 3 — (x^2 + 2)} =\)

\( \sqrt{x^2 — 2x + 1} = \sqrt{(x — 1)^2} = |x — 1| = 1 — x, \; \text{где } x \leq 1; \)

Шаг 1: Начинаем с выражения внутри корня:

\( \sqrt{2x^2 — 2x + 3 — \sqrt{x^4 + 4x^2 + 4}} \)

Шаг 2: Замечаем, что \( x^4 + 4x^2 + 4 = (x^2 + 2)^2 \), и тогда выражение упрощается до:

\( \sqrt{2x^2 — 2x + 3 — \sqrt{(x^2 + 2)^2}} \)

Шаг 3: Выражение под корнем становится \( \sqrt{2x^2 — 2x + 3 — |x^2 + 2|} \). Поскольку \( x^2 + 2 \) всегда положительно, \( |x^2 + 2| = x^2 + 2 \), и выражение сводится к:

\( \sqrt{2x^2 — 2x + 3 — (x^2 + 2)} \)

Шаг 4: Упростим это:

\( \sqrt{x^2 — 2x + 1} = \sqrt{(x — 1)^2} \)

Шаг 5: Известно, что \( \sqrt{(x — 1)^2} = |x — 1| \). При \( x \leq 1 \), это равно \( 1 — x \).

Ответ: \( 1 — x \), где \( x \leq 1 \).

г)
\( \sqrt{\frac{x^2}{y} — y — 1} = \sqrt{y^2(y + 1) — (y + 1)} = \sqrt{(y^2 — 1)(y + 1)} =\)

\(\sqrt{(y — 1)(y + 1)^2} = |y + 1|\sqrt{y — 1} = \frac{y + 1}{\sqrt{y — 1}}, \; \text{где } y \geq 1; \)

Шаг 1: Рассматриваем выражение:

\( \sqrt{\frac{x^2}{y} — y — 1} \)

Шаг 2: Изменяем и упрощаем выражение:

\( \sqrt{y^2(y + 1) — (y + 1)} = \sqrt{(y^2 — 1)(y + 1)} \)

Шаг 3: Разкладываем выражение далее:

\( = \sqrt{(y — 1)(y + 1)^2} \)

Шаг 4: Мы можем вынести \( |y + 1| \) за скобки, так как это положительное число при \( y \geq 1 \):

\( = |y + 1|\sqrt{y — 1} \)

Шаг 5: Поскольку \( y \geq 1 \), то \( |y + 1| = y + 1 \), и получаем:

\( = \frac{y + 1}{\sqrt{y — 1}} \)

Ответ: \( \frac{y + 1}{\sqrt{y — 1}} \), где \( y \geq 1 \).