ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 910 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Сравните числа:

а) \( \sqrt[3]{11} \) и \( \sqrt[5]{119} \);
б) \( \sqrt[4]{27} \) и \( \sqrt[3]{9} \);
в) \( \sqrt[3]{\sqrt{2}} \) и \( \sqrt[3]{\sqrt[3]{3}} \);
г) \( \sqrt[3]{\sqrt{27}} \) и \( \sqrt[3]{3} \);
д) \( \sqrt[3]{7} \) и \( \sqrt[3]{3 \sqrt{2}} \);
е) \( \sqrt[4]{5 \sqrt[3]{5}} \) и \( \sqrt[5]{9 \sqrt[3]{\frac{1}{3}}} \).

Сравнить числа:

а) \( \sqrt[3]{11} \) и \( \sqrt[6]{119} \):

\( \sqrt[3]{11} = 3^{2} \sqrt[6]{112} = \sqrt[6]{121} \);

Ответ: \( \sqrt[3]{11} > \sqrt[6]{119} \).

б) \( \sqrt[4]{27} \) и \( \sqrt[3]{9} \):

\( \sqrt[4]{27} = 4^{-3} \sqrt[3]{3^3} = \sqrt[12]{39} \);

\( \sqrt[3]{9} = 3^{-4} \sqrt[32]{4} = \sqrt[12]{38} \);

Ответ: \( \sqrt[4]{27} > \sqrt[3]{9} \).

в) \( \sqrt[3]{\sqrt[2]{2}} \) и \( \sqrt[2]{\sqrt[3]{3}} \):

\( \sqrt[3]{\sqrt[2]{2}} = \sqrt[6]{2} \);

\( \sqrt[2]{\sqrt[3]{3}} = \sqrt[6]{3} \);

Ответ: \( \sqrt[3]{\sqrt[2]{2}} < \sqrt[2]{\sqrt[3]{3}} \).

г) \( \sqrt[3]{27} \) и \( \sqrt[3]{3} \):

\( \sqrt[3]{27} = 3^{2} \sqrt[6]{33} = \sqrt[6]{33} \);

\( \sqrt[3]{3} = 3^{2} \sqrt[32]{32} = \sqrt[6]{32} \);

Ответ: \( \sqrt[3]{27} > \sqrt[3]{3} \).

д) \( \sqrt[3]{7} \) и \( \sqrt[3]{\sqrt[3]{2}} \):

\( \sqrt[3]{7} = 3^{2} \sqrt[7 \cdot 7] = \sqrt[6]{49} \);

\( \sqrt[3]{\sqrt[3]{2}} = 3^{2} \sqrt[3 \cdot 2] = \sqrt[6]{54} \);

Ответ: \( \sqrt[3]{7} < \sqrt[3]{\sqrt[3]{2}} \).

е) \( \sqrt[4]{5^{3} \sqrt[3]{5}} \) и \( \sqrt[5]{9^{3} \sqrt[3]{\frac{1}{3}}} \);

\[
\sqrt[4]{5^{3} \sqrt[3]{5}} = \sqrt[4]{5^{3} \cdot 5^{1/3}} = \sqrt[4]{5^{3 + 1/3}} = \sqrt[4]{5^{10/3}} = 5^{\frac{10}{12}} = 5^{5/6}
\]

\[
\sqrt[4]{5^{3} \sqrt[3]{5}} = \sqrt[4]{5^{3} \cdot 5^{1/3}} = \sqrt[4]{5^{3 + 1/3}} = \sqrt[4]{5^{10/3}} = \sqrt[4]{5^{4 \cdot (10/12)}} = \sqrt[3]{5}
\]

\[
\sqrt[5]{9^{3} \sqrt[3]{\frac{1}{3}}} = \sqrt[5]{9^{3} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{1/3}} = \sqrt[5]{32 \cdot \frac{2}{3}} = \sqrt[5]{32/3} = \sqrt[3]{3}
\]

\[
\sqrt[5]{9^{3} \sqrt[3]{\frac{1}{3}}} = \sqrt[5]{9^{3} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{1/3}} = \sqrt[5]{32 \cdot \frac{2}{3}} = \sqrt[3]{3}
\]

Ответ: \( \sqrt[4]{5^{3} \sqrt[3]{5}} > \sqrt[5]{9^{3} \sqrt[3]{\frac{1}{3}}} \).

a) Сравнение: \(\sqrt[3]{11} \) и \(\sqrt[6]{119}\)

Шаг 1: Представим выражения в более удобном виде:

\(\sqrt[3]{11} = 3^{2} \cdot \sqrt[6]{112} = \sqrt[6]{121}\)

Шаг 2: Из этого видно, что \(\sqrt[3]{11} > \sqrt[6]{119}\), так как \(\sqrt[6]{121} > \sqrt[6]{119}\).

Ответ: \( \sqrt[3]{11} > \sqrt[6]{119} \).

б) Сравнение: \(\sqrt[4]{27} \) и \(\sqrt[3]{9}\)

Шаг 1: Представим выражения в более удобном виде:

\(\sqrt[4]{27} = 4^{-3} \cdot \sqrt[3]{3^3} = \sqrt[12]{39}\)

\(\sqrt[3]{9} = 3^{-4} \cdot \sqrt[32]{4} = \sqrt[12]{38}\)

Шаг 2: Видно, что \(\sqrt[12]{39} > \sqrt[12]{38}\), то есть \(\sqrt[4]{27} > \sqrt[3]{9}\).

Ответ: \( \sqrt[4]{27} > \sqrt[3]{9} \).

в) Сравнение: \(\sqrt[3]{\sqrt[2]{2}} \) и \(\sqrt[2]{\sqrt[3]{3}}\)

Шаг 1: Преобразуем выражения:

\(\sqrt[3]{\sqrt[2]{2}} = \sqrt[6]{2}\)

\(\sqrt[2]{\sqrt[3]{3}} = \sqrt[6]{3}\)

Шаг 2: Поскольку \(2 < 3\), то \(\sqrt[6]{2} < \sqrt[6]{3}\), то есть \(\sqrt[3]{\sqrt[2]{2}} < \sqrt[2]{\sqrt[3]{3}}\).

Ответ: \( \sqrt[3]{\sqrt[2]{2}} < \sqrt[2]{\sqrt[3]{3}} \).

г) Сравнение: \(\sqrt[3]{27} \) и \(\sqrt[3]{3}\)

Шаг 1: Представим выражения в более удобном виде:

\(\sqrt[3]{27} = 3^{2} \cdot \sqrt[6]{33} = \sqrt[6]{33}\)

\(\sqrt[3]{3} = 3^{2} \cdot \sqrt[32]{32} = \sqrt[6]{32}\)

Шаг 2: Мы видим, что \(\sqrt[6]{33} > \sqrt[6]{32}\), поэтому \(\sqrt[3]{27} > \sqrt[3]{3}\).

Ответ: \( \sqrt[3]{27} > \sqrt[3]{3} \).

д) Сравнение: \(\sqrt[3]{7} \) и \(\sqrt[3]{\sqrt[3]{2}}\)

Шаг 1: Представим выражения в более удобном виде:

\(\sqrt[3]{7} = 3^{2} \cdot \sqrt[7 \cdot 7] = \sqrt[6]{49}\)

\(\sqrt[3]{\sqrt[3]{2}} = 3^{2} \cdot \sqrt[3 \cdot 2] = \sqrt[6]{54}\)

Шаг 2: Видно, что \(\sqrt[6]{49} < \sqrt[6]{54}\), то есть \(\sqrt[3]{7} < \sqrt[3]{\sqrt[3]{2}}\).

Ответ: \( \sqrt[3]{7} < \sqrt[3]{\sqrt[3]{2}} \).

е) Сравнение: \(\sqrt[4]{5^{3} \sqrt[3]{5}} \) и \(\sqrt[5]{9^{3} \sqrt[3]{\frac{1}{3}}}\)

Шаг 1: Представим выражения в более удобном виде:

\(\sqrt[4]{5^{3} \sqrt[3]{5}} = \sqrt[4]{5^{3} \cdot 5^{1/3}} = \sqrt[4]{5^{3 + 1/3}} = \sqrt[4]{5^{10/3}} = 5^{\frac{10}{12}} = 5^{5/6}\)

\(\sqrt[5]{9^{3} \sqrt[3]{\frac{1}{3}}} = \sqrt[5]{9^{3} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{1/3}} = \sqrt[5]{32 \cdot \frac{2}{3}} = \sqrt[5]{32/3} = \sqrt[3]{3}\)

Шаг 2: Сравниваем \(5^{5/6}\) и \(\sqrt[3]{3}\), где видно, что \(5^{5/6} > \sqrt[3]{3}\).

Ответ: \( \sqrt[4]{5^{3} \sqrt[3]{5}} > \sqrt[5]{9^{3} \sqrt[3]{\frac{1}{3}}} \).