ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 900 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) \( x^3 + \sqrt[3]{x} + 7x = 9 \);
б) \( \sqrt{x — 2} + \sqrt[3]{x + 5} = 3 \).

Решить уравнение:

а) \( x^3 + \sqrt[3]{x} + 7x = 9 \);

\( x^3 + \sqrt[3]{x} = 9 — 7x \);

Функция \( f = x^3 + \sqrt[3]{x} \) возрастает;

Функция \( g(x) = 9 — 7x \) убывает;

Есть только одно решение:

\( f(1) = 1^3 + \sqrt[3]{1} = 1 + 1 = 2 \);

\( g(1) = 9 — 7 \cdot 1 = 9 — 7 = 2 \);

Ответ: 1.

б) \( \sqrt[5]{x — 2} + \sqrt[3]{x} + 5 = 3 \);

\( \sqrt[5]{x — 2} = 3 — \sqrt[3]{x} + 5 \);

Функция \( f = \sqrt[5]{x — 2} \) возрастает;

Функция \( g = 3 — \sqrt[3]{x} + 5 \) убывает;

Есть только одно решение:

\( f(3) = \sqrt[5]{3 — 2} = \sqrt[5]{1} = 1 \);

\( g(3) = 3 — \sqrt[3]{3} + 5 = 1 \);

Ответ: 3.

Задание:

a) \( x^3 + \sqrt[3]{x} + 7x = 9 \);

Шаг 1: Переписываем уравнение:

\( x^3 + \sqrt[3]{x} + 7x = 9 \quad \Rightarrow \quad x^3 + \sqrt[3]{x} = 9 — 7x \)

Это преобразование изолирует кубический корень и выражает его через другие члены уравнения.

Шаг 2: Анализ функций:

Функция \( f(x) = x^3 + \sqrt[3]{x} \) возрастает, так как она состоит из двух монотонно возрастающих функций: \( x^3 \) и \( \sqrt[3]{x} \). Мы знаем, что производная этой функции \( f'(x) > 0 \) для всех \( x \), что подтверждает монотонный рост.

Функция \( g(x) = 9 — 7x \) — это линейная функция с отрицательным коэффициентом перед \( x \), что означает её убывание. Для всех \( x \), если \( x_1 < x_2 \), то \( g(x_1) > g(x_2) \), то есть она убывает.

Шаг 3: Подставляем \( x = 1 \) в обе функции для проверки решения:

Проверка:

При \( x = 1 \), подставляем в функцию \( f(x) \):

\( f(1) = 1^3 + \sqrt[3]{1} = 1 + 1 = 2 \);

При \( x = 1 \), подставляем в функцию \( g(x) \):

\( g(1) = 9 — 7 \cdot 1 = 9 — 7 = 2 \);

Так как \( f(1) = g(1) = 2 \), то это решение уравнения.

Ответ: \( x = 1 \).

b) \( \sqrt[5]{x — 2} + \sqrt[3]{x} + 5 = 3 \);

Шаг 1: Переписываем уравнение:

\( \sqrt[5]{x — 2} + \sqrt[3]{x} + 5 = 3 \quad \Rightarrow \quad \sqrt[5]{x — 2} = 3 — \sqrt[3]{x} + 5 \);

Шаг 2: Анализ функций:

Функция \( f(x) = \sqrt[5]{x — 2} \) возрастает, так как пятый корень — это монотонно возрастающая функция для всех значений \( x \) в области определения.

Функция \( g(x) = 3 — \sqrt[3]{x} + 5 \) убывает, так как \( \sqrt[3]{x} \) — возрастающая функция, а знак перед ней меняет её на убывающую.

Шаг 3: Подставляем \( x = 3 \) в обе функции для проверки:

Проверка:

При \( x = 3 \), подставляем в функцию \( f(x) \):

\( f(3) = \sqrt[5]{3 — 2} = \sqrt[5]{1} = 1 \);

При \( x = 3 \), подставляем в функцию \( g(x) \):

\( g(3) = 3 — \sqrt[3]{3} + 5 = 1 \);

Так как \( f(3) = g(3) = 1 \), то это решение уравнения.

Ответ: \( x = 3 \).