ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 897 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите область значений функции \( f(x) \), если:

а) \( f(x) = \sqrt[3]{x} \), где \( x \in [-8; 27] \);
б) \( f(x) = \sqrt[4]{x} \), где \( x \in \left[ \frac{1}{16}; 10 000 \right] \);
в) \( f(x) = \sqrt[4]{x} \), где \( x \in [1; 16] \);
г) \( f(x) = \sqrt[5]{x} \), где \( x \in \left[ -\frac{1}{32}; 32 \right] \).

Найти множество значений:

a) \( f(x) = \sqrt[3]{x}, \, x \in [-8; 27] \);

Функция \( y = \sqrt[3]{x} \) возрастает:

\( f(-8) = -\sqrt[3]{2^3} = -2 \);

\( f(27) = \sqrt[3]{3^3} = 3 \);

Ответ: \( E(f) = [-2; 3] \).

б) \( f(x) = \sqrt[4]{x}, \, x \in \left[\frac{1}{16}; 10\,000\right] \);

Функция \( y = \sqrt[4]{x} \) возрастает:

\( f\left(\frac{1}{16}\right) = \sqrt[4]{\frac{1}{16}} = \sqrt[4]{\frac{1}{2^4}} = \frac{1}{2} = 0,5 \);

\( f(10\,000) = \sqrt[4]{10^4} = 10 \);

Ответ: \( E(f) = [0,5; 10] \).

в) \( f(x) = \sqrt[4]{x}, \, x \in [1; 16] \);

Функция \( y = \sqrt[4]{x} \) возрастает:

\( f(1) = \sqrt[4]{1} = 1 \);

\( f(16) = \sqrt[4]{2^4} = 2 \);

Ответ: \( E(f) = [1; 2] \).

г) \( f(x) = \sqrt[5]{x}, \, x \in \left[-\frac{1}{32}; 32\right] \);

Функция \( y = \sqrt[5]{x} \) возрастает:

\( f\left(-\frac{1}{32}\right) = -\sqrt[5]{\frac{1}{2^5}} = -\frac{1}{2} = -0,5 \);

\( f(32) = \sqrt[5]{2^5} = 2 \);

Ответ: \( E(f) = [-0,5; 2] \).

Задание:

a) \( f(x) = \sqrt[3]{x}, \, x \in [-8; 27] \);

Функция \( y = \sqrt[3]{x} \) возрастает, поэтому минимальное значение функции будет при \( x = -8 \), а максимальное — при \( x = 27 \).

Шаг 1: Найдем значения функции на концах отрезка:

\( f(-8) = \sqrt[3]{-8} = -2 \);

\( f(27) = \sqrt[3]{27} = 3 \);

Ответ: \( E(f) = [-2; 3] \).

b) \( f(x) = \sqrt[4]{x}, \, x \in \left[\frac{1}{16}; 10\,000\right] \);

Функция \( y = \sqrt[4]{x} \) возрастает, поэтому минимальное значение функции будет при \( x = \frac{1}{16} \), а максимальное — при \( x = 10\,000 \).

Шаг 1: Найдем значения функции на концах отрезка:

\( f\left(\frac{1}{16}\right) = \sqrt[4]{\frac{1}{16}} = \frac{1}{2} = 0,5 \);

\( f(10\,000) = \sqrt[4]{10\,000} = 10 \);

Ответ: \( E(f) = [0,5; 10] \).

в) \( f(x) = \sqrt[4]{x}, \, x \in [1; 16] \);

Функция \( y = \sqrt[4]{x} \) возрастает, поэтому минимальное значение функции будет при \( x = 1 \), а максимальное — при \( x = 16 \).

Шаг 1: Найдем значения функции на концах отрезка:

\( f(1) = \sqrt[4]{1} = 1 \);

\( f(16) = \sqrt[4]{16} = 2 \);

Ответ: \( E(f) = [1; 2] \).

г) \( f(x) = \sqrt[5]{x}, \, x \in \left[-\frac{1}{32}; 32\right] \);

Функция \( y = \sqrt[5]{x} \) возрастает, поэтому минимальное значение функции будет при \( x = -\frac{1}{32} \), а максимальное — при \( x = 32 \).

Шаг 1: Найдем значения функции на концах отрезка:

\( f\left(-\frac{1}{32}\right) = \sqrt[5]{-\frac{1}{32}} = -\frac{1}{2} = -0,5 \);

\( f(32) = \sqrt[5]{32} = 2 \);

Ответ: \( E(f) = [-0,5; 2] \).