ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 893 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Задайте формулой функцию, обратную функции:

а) \( y = x^5 \);
б) \( y = x^2 \), где \( x \in (-\infty; 0] \);
в) \( y = x^7 \);
г) \( y = x^8 \), где \( x \in [1; +\infty) \);
д) \( y = x^3 \), где \( x \in [-2; 2] \);
е) \( y = x^4 \), где \( x \in [0; 3] \).

Найдите область определения и область значений каждой из этих функций.

Найти обратную функцию:

a) \( y = x^5 \);

\( x = y^5 \), \( y = \sqrt[5]{x} \);

Ответ: \( y = \sqrt[5]{x} \).

б) \( y = x^2, \, x \in (-\infty; 0] \);

Множество значений: \( x^2 \geq 0 \), \( y \geq 0 \);

Обратная функция: \( x = y^2 \), \( y = -\sqrt{x} \);

Ответ: \( y = -\sqrt{x} \).

в) \( y = x^7 \);

\( x = y^7 \), \( y = \sqrt[7]{x} \);

Ответ: \( y = \sqrt[7]{x} \).

г) \( y = x^8, \, x \in [1; +\infty) \);

Множество значений: \( x^8 \geq 1 \), \( y \geq 1 \);

Обратная функция: \( x = y^8 \), \( y = \sqrt[8]{x} \);

Ответ: \( y = \sqrt[8]{x}, \, x \geq 1 \).

д) \( y = x^3, \, x \in [-2; 2) \);

Множество значений: \( -8 \leq x^3 < 8 \), \( -8 \leq y < 8 \);

Обратная функция: \( x = y^3 \), \( y = \sqrt[3]{x} \);

Ответ: \( y = \sqrt[3]{x}, \, x \in [-8; 8) \).

е) \( y = x^4, \, x \in [0; 3) \);

Множество значений: \( 0 \leq x^4 < 81 \), \( 0 \leq y < 81 \);

Обратная функция: \( x = \sqrt[4]{y} \);

Ответ: \( y = \sqrt[4]{x}, \, x \in [0; 81) \).

Задание:

a) \( y = x^5 \);

Шаг 1: Для нахождения обратной функции нужно выразить \( x \) через \( y \). Исходное уравнение: \( y = x^5 \).

Шаг 2: Решаем уравнение относительно \( x \): \( x = \sqrt[5]{y} \).

Шаг 3: Записываем обратную функцию: \( y = \sqrt[5]{x} \).

Ответ: \( y = \sqrt[5]{x} \).

b) \( y = x^2, \, x \in (-\infty; 0] \);

Шаг 1: У нас функция \( y = x^2 \), и нам нужно найти её обратную функцию для \( x \in (-\infty; 0] \).

Шаг 2: Из уравнения \( y = x^2 \) можно выразить \( x \), но так как \( x \) отрицателен, мы получаем \( x = -\sqrt{y} \), потому что \( x \leq 0 \).

Шаг 3: Записываем обратную функцию: \( y = -\sqrt{x} \), где \( x \geq 0 \).

Ответ: \( y = -\sqrt{x} \).

в) \( y = x^7 \);

Шаг 1: Для функции \( y = x^7 \), аналогично предыдущим шагам, мы должны выразить \( x \) через \( y \).

Шаг 2: Из уравнения \( y = x^7 \), получаем \( x = \sqrt[7]{y} \).

Шаг 3: Записываем обратную функцию: \( y = \sqrt[7]{x} \).

Ответ: \( y = \sqrt[7]{x} \).

г) \( y = x^8, \, x \in [1; +\infty) \);

Шаг 1: Здесь \( y = x^8 \), и мы ищем обратную функцию для \( x \in [1; +\infty) \).

Шаг 2: Выражаем \( x \) через \( y \), получаем \( x = \sqrt[8]{y} \), так как \( x \geq 1 \).

Шаг 3: Записываем обратную функцию: \( y = \sqrt[8]{x}, \, x \geq 1 \).

Ответ: \( y = \sqrt[8]{x}, \, x \geq 1 \).

д) \( y = x^3, \, x \in [-2; 2) \);

Шаг 1: Для функции \( y = x^3 \), выражаем \( x \) через \( y \), получаем \( x = \sqrt[3]{y} \).

Шаг 2: Учитываем область определения \( x \in [-2; 2) \), следовательно, для области значений функции \( y \) будет \( -8 \leq y < 8 \).

Шаг 3: Записываем обратную функцию: \( y = \sqrt[3]{x}, \, x \in [-8; 8) \).

Ответ: \( y = \sqrt[3]{x}, \, x \in [-8; 8) \).

е) \( y = x^4, \, x \in [0; 3) \);

Шаг 1: Для функции \( y = x^4 \), выражаем \( x \) через \( y \), получаем \( x = \sqrt[4]{y} \).

Шаг 2: Учитываем область определения \( x \in [0; 3) \), следовательно, для области значений функции \( y \) будет \( 0 \leq y < 81 \).

Шаг 3: Записываем обратную функцию: \( y = \sqrt[4]{x}, \, x \in [0; 81) \).

Ответ: \( y = \sqrt[4]{x}, \, x \in [0; 81) \).