ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 879 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Функция \( f \) задана формулой:

а) \( y = x^2 \), где \( D(f) = [3; 7] \);
б) \( y = 5x — 8 \), где \( D(f) = [-3; 12] \);
в) \( y = x^2 — 1 \), где \( D(f) = [-2; 3] \);
г) \( y = \frac{6}{x} \), где \( D(f) = [-6; 1] \).

Найти функцию, обратную данной, и указать ее область определения:

a) \( y = x^2 \), \( D(f) = [3; 7] \);

Множество значений:

\( x_0 = 0, y_0 = 0 \);

\( y(3) = 3^2 = 9 \);

\( y(7) = 7^2 = 49 \);

Обратная функция:

\( x = y^2, y = \sqrt{x} \);

Ответ: \( y = \sqrt{x}; D(x) = [9; 49] \).

б) \( y = 5x — 8 \), \( D(f) = [-3; 12] \);

Множество значений:

\( y(-3) = -15 — 8 = -23 \);

\( y(12) = 60 — 8 = 52 \);

Обратная функция:

\( x = 5y — 8 \);

\( 5y = x + 8 \), \( y = \frac{x + 8}{5} \);

Ответ: \( y = \frac{x + 8}{5}; D(x) = [-23; 52] \).

в) \( y = x^2 — 1 \), \( D(f) = [-2; 3] \);

Функция необратима:

\( y(-1) = 1 — 1 = 0 \);

\( y(1) = 1 — 1 = 0 \);

Ответ: не является.

г) \( y = \frac{6}{x} \), \( D(f) = [-6; 1] \);

Множество значений:

\( x_0 = 0, y_0 = 0 \);

\( y \leq y(-6) = \frac{6}{-6} = -1 \);

\( y \geq y(1) = \frac{6}{1} = 6 \);

Обратная функция:

\( x = \frac{6}{y} \);

Ответ: \( y = \frac{6}{x}; D(x) = (-\infty; -1] \cup [6; +\infty) \)

Задание:

a) \( y = x^2 \), \( D(f) = [3; 7] \):

Для функции \( y = x^2 \) на интервале \( [3; 7] \) найдем обратную функцию.

Для нахождения обратной функции возьмем квадратный корень от обеих сторон:

\( x = y^2, \quad y = \sqrt{x};\)

Область определения обратной функции \( D(x) = [9; 49] \), так как \( y(3) = 9 \) и \( y(7) = 49 \).

Ответ: \( y = \sqrt{x}; \quad D(x) = [9; 49].\)

b) \( y = 5x — 8 \), \( D(f) = [-3; 12] \):

Для линейной функции \( y = 5x — 8 \) найдем обратную функцию.

Для нахождения обратной функции выразим \( x \) через \( y \):

\( x = 5y — 8;\)

Решим относительно \( y \):

\( 5y = x + 8, \quad y = \frac{x + 8}{5};\)

Область значений функции на интервале \( [-3; 12] \) будет \( [-23; 52] \), так как \( y(-3) = -23 \) и \( y(12) = 52 \).

Ответ: \( y = \frac{x + 8}{5}; \quad D(x) = [-23; 52].\)

в) \( y = x^2 — 1 \), \( D(f) = [-2; 3] \):

Функция \( y = x^2 — 1 \) не является обратимой, так как она не инъективна на интервале \( [-2; 3] \), так как для \( x = -1 \) и \( x = 1 \) \( y(-1) = y(1) = 0 \).

Ответ: не является.

г) \( y = \frac{6}{x} \), \( D(f) = [-6; 1] \):

Для функции \( y = \frac{6}{x} \) найдем обратную функцию.

Для нахождения обратной функции выразим \( x \) через \( y \):

\( x = \frac{6}{y};\)

Обратная функция будет:

\( y = \frac{6}{x};\)

Область значений функции: \( y \leq y(-6) = \frac{6}{-6} = -1 \) и \( y \geq y(1) = \frac{6}{1} = 6 \). Таким образом, область определения обратной функции будет \( (-\infty; -1] \cup [6; +\infty) \).

Ответ: \( y = \frac{6}{x}; \quad D(x) = (-\infty; -1] \cup [6; +\infty).\)