ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 1053 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите множество решений неравенства:

\[
x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}} < \frac{4}{\sqrt{x}}.
\]

Решить неравенство:

\[
x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}} < \frac{4}{\sqrt{x}};
\]

\[
x + 1 < 4 — \sqrt{x};
\]

\[
x + \sqrt{x} — 3 < 0;
\]

\( D = 1^2 + 4 \cdot 3 = 1 + 12 = 13 \), тогда:

\[
\sqrt{x_1} = \frac{-1 — \sqrt{13}}{2} \quad \text{и} \quad \sqrt{x_2} = \frac{-1 + \sqrt{13}}{2};
\]

\[
\frac{-1 — \sqrt{13}}{2} < \sqrt{x} < \frac{-1 + \sqrt{13}}{2};
\]

\[
0 < x < \left( \frac{-1 + \sqrt{13}}{2} \right)^2, \quad 0 < x < \frac{7 — \sqrt{13}}{2};
\]

Ответ: \( \left( 0; \frac{7 — \sqrt{13}}{2} \right) \).

Задача: Решить неравенство:

\( x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}} < \frac{4}{\sqrt{x}} \)

Шаг 1: Начнем с того, что умножим обе части неравенства на \( \sqrt{x} \), чтобы избавиться от дробей. Умножаем на положительное число, так как \( x > 0 \):

\( \sqrt{x} \cdot x^{\frac{1}{2}} + \sqrt{x} \cdot x^{-\frac{1}{2}} < \sqrt{x} \cdot \frac{4}{\sqrt{x}} \)

Упростим выражения:

\( x + 1 < 4 \)

Шаг 2: Из этого неравенства легко получить:

\( x < 3 \)

Шаг 3: Теперь вернемся к неравенству с корнем. Мы преобразовали его в неравенство \( x < 3 \), но нужно также учесть область определения. Так как изначально у нас есть корень, то \( x > 0 \), так как корень из отрицательного числа не существует в области действительных чисел.

Шаг 4: Получаем область определения:

\( 0 < x < 3 \)

Задача 2: \( x + \sqrt{x} — 3 < 0 \)

Шаг 1: Изолируем \( \sqrt{x} \) на одной стороне неравенства:

\( \sqrt{x} < 3 — x \)

Шаг 2: Возводим обе части неравенства в квадрат:

\( x < (3 — x)^2 \)

Шаг 3: Раскроем скобки в правой части:

\( x < 9 — 6x + x^2 \)

Шаг 4: Переносим все элементы на одну сторону неравенства:

\( 0 < x^2 — 7x + 9 \)

Шаг 5: Решим полученное квадратное неравенство. Для этого найдем дискриминант:

\( D = (-7)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 9 = 49 — 36 = 13 \)

Шаг 6: Находим корни квадратного уравнения:

\( \sqrt{x_1} = \frac{-(-7) — \sqrt{13}}{2 \cdot 1} = \frac{7 — \sqrt{13}}{2} \quad \text{и} \quad \sqrt{x_2} = \frac{-(-7) + \sqrt{13}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + \sqrt{13}}{2} \)

Шаг 7: В исходном неравенстве получаем:

\( 0 < x < \left( \frac{7 — \sqrt{13}}{2} \right) \)

Ответ: \( \left( 0; \frac{7 — \sqrt{13}}{2} \right) \)