ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 1052 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите относительно \( x \) неравенство:

\[
2x + \sqrt{a^2 — x^2} > 0, \quad \text{где } a > 0.
\]

Решить относительно \( x \):

\[
2x + \sqrt{a^2 — x^2} > 0;
\]

\[
\sqrt{a^2 — x^2} > -2x;
\]

\[
a^2 — x^2 > 4x^2, \quad a > 0;
\]

\[
5x^2 — a^2 < 0, \quad -2x < 0;
\]

\[
(x\sqrt{5} + a)(x\sqrt{5} — a) < 0;
\]

\[
-\frac{a}{\sqrt{5}} < x < \frac{a}{\sqrt{5}}, \quad x > 0;
\]

Область определения:

\[
a^2 — x^2 \geq 0, \quad a > 0;
\]

\[
(x + a)(x — a) \leq 0;
\]

\[
-a \leq x \leq a;
\]

Ответ: \( \left( -\frac{a}{\sqrt{5}}; a \right] \).

Задача: Решить относительно \( x \):

\( 2x + \sqrt{a^2 — x^2} > 0 \)

Шаг 1: Переносим выражение с корнем на правую сторону:

\( \sqrt{a^2 — x^2} > -2x \)

Шаг 2: Возводим обе части неравенства в квадрат:

\( a^2 — x^2 > 4x^2, \quad a > 0 \)

Шаг 3: Упрощаем полученное неравенство:

\( a^2 — x^2 > 4x^2 \quad \Rightarrow \quad a^2 > 5x^2 \)

Шаг 4: Получаем:

\( 5x^2 < a^2 \)

Шаг 5: Разделим обе части неравенства на 5:

\( x^2 < \frac{a^2}{5} \)

Шаг 6: Извлекаем квадратный корень:

\( -\frac{a}{\sqrt{5}} < x < \frac{a}{\sqrt{5}} \)

Шаг 7: Учитываем, что \( x > 0 \), так как это условие следует из исходного неравенства \( 2x + \sqrt{a^2 — x^2} > 0 \), где \( x \) должно быть положительным. Таким образом, получаем:

\( 0 < x < \frac{a}{\sqrt{5}} \)

Шаг 8: Определим область определения для исходного выражения. Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным, то есть:

\( a^2 — x^2 \geq 0 \)

Таким образом, \( x \) должно удовлетворять неравенству:

\( -a \leq x \leq a \)

Ответ:

\( \left( -\frac{a}{\sqrt{5}}; a \right] \)