ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 1051 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите относительно \( x \) неравенство:

а) \( \sqrt{x — 2} < a \);

б) \( \sqrt{3x — 1} > a \).

Решить относительно \( x \):

а) \( \sqrt{x — 2} < a \);

\( x — 2 < a^2 \);

\( x < a^2 + 2 \);

Область определения:

\( x — 2 \geq 0, \quad x \geq 2, \quad a > 0 \);

Ответ: если \( a \leq 0 \), то решений нет;

если \( a > 0 \), то \( [2; a^2 + 2) \).

б) \( \sqrt{3x — 1} > a \);

\( 3x — 1 > a^2 \);

\( 3x > a^2 + 1 \);

\( x > \frac{a^2 + 1}{3}, \quad a < 0 \);

Область определения:

\( 3x — 1 \geq 0, \quad 3x \geq 1, \quad x \geq \frac{1}{3} \);

Ответ: если \( a < 0 \), то \( \left[ \frac{1}{3}; +\infty \right) \);

если \( a \geq 0 \), то \( \left( \frac{a^2 + 1}{3}; +\infty \right) \).

Задача а) \( \sqrt{x — 2} < a \)

Шаг 1: Начнём с того, что возведём обе части неравенства в квадрат:

\( \sqrt{x — 2} < a \quad \Rightarrow \quad x — 2 < a^2 \)

Шаг 2: Упростим полученное неравенство, прибавив 2 к обеим частям:

\( x < a^2 + 2 \)

Шаг 3: Теперь определим область определения. Поскольку в исходном неравенстве присутствует квадратный корень, то выражение под корнем должно быть неотрицательным:

\( x — 2 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq 2 \)

Следовательно, \( x \) должно быть не меньше 2.

Шаг 4: Также учитываем, что \( a \) должно быть положительным числом, так как квадратный корень из отрицательного числа не существует в области действительных чисел. Таким образом, для того чтобы неравенство имело смысл, должно быть выполнено условие \( a > 0 \).

Ответ:

Если \( a \leq 0 \), то решений нет, так как квадратный корень из отрицательного числа или нуля не может быть меньше или равен нулю.

Если \( a > 0 \), то решение будет следующим: \( [2; a^2 + 2) \).

Задача б) \( \sqrt{3x — 1} > a \)

Шаг 1: Сначала возводим обе части неравенства в квадрат:

\( \sqrt{3x — 1} > a \quad \Rightarrow \quad 3x — 1 > a^2 \)

Шаг 2: Упростим неравенство:

\( 3x > a^2 + 1 \)

Шаг 3: Разделим обе части неравенства на 3:

\( x > \frac{a^2 + 1}{3} \)

Шаг 4: Теперь определим область определения. Для того чтобы квадратный корень имел смысл, выражение под ним должно быть неотрицательным:

\( 3x — 1 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad 3x \geq 1 \quad \Rightarrow \quad x \geq \frac{1}{3} \)

Ответ:

Если \( a < 0 \), то \( x \) будет ограничено снизу значением \( \frac{1}{3} \), то есть решение будет \( \left[ \frac{1}{3}; +\infty \right) \).

Если \( a \geq 0 \), то \( x \) будет ограничено снизу значением \( \frac{a^2 + 1}{3} \), то есть решение будет \( \left( \frac{a^2 + 1}{3}; +\infty \right) \).

Итоговые ответы:

Задача а:

Если \( a \leq 0 \), то решений нет.

Если \( a > 0 \), то \( [2; a^2 + 2) \).

Задача б:

Если \( a < 0 \), то \( \left[ \frac{1}{3}; +\infty \right) \).

Если \( a \geq 0 \), то \( \left( \frac{a^2 + 1}{3}; +\infty \right) \).