ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 1050 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите неравенство:

$$
2x(x-1) + 1 > \sqrt{x^2 — x + 1}.
$$

Решить неравенство:

\[
2x(x-1) + 1 > \sqrt{x^2 — x + 1};
\]

\[
2x^2 — 2x + 2 — 1 > \sqrt{x^2 — x + 1};
\]

1) Пусть \( y = x^2 — x + 1 \), тогда:

\[
2y — 1 > \sqrt{y};
\]

\[
2y — \sqrt{y} — 1 > 0;
\]

\( D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9 \), тогда:

\[
\sqrt{y_1} = \frac{1 — 3}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{2} \quad \text{и} \quad \sqrt{y_2} = \frac{1 + 3}{2 \cdot 2} = 1;
\]

\[
\left( \sqrt{y} + \frac{1}{2} \right) \left( \sqrt{y} — 1 \right) > 0;
\]

\[
\sqrt{y} — 1 > 0, \quad \sqrt{y} > 1, \quad y > 1;
\]

2) Вернем замену:

\[
x^2 — x + 1 > 1;
\]

\[
x^2 — x > 0;
\]

\[
x(x — 1) > 0;
\]

\[
x < 0, \quad x > 1;
\]

Ответ: \( (-\infty; 0) \cup (1; +\infty) \).

Решим неравенство:

\( 2x(x-1) + 1 > \sqrt{x^2 — x + 1} \);

Начнём с того, что раскроем скобки в левой части неравенства:

\( 2x(x — 1) = 2x^2 — 2x \);

Таким образом, неравенство превращается в:

\( 2x^2 — 2x + 1 > \sqrt{x^2 — x + 1} \);

Теперь, чтобы избавиться от квадратного корня, будем работать с обеими частями неравенства.

Шаг 1: Сделаем замену: пусть \( y = x^2 — x + 1 \). Тогда неравенство примет вид:

\( 2y — 1 > \sqrt{y} \);

Теперь продолжим работать с этим новым неравенством. Переносим все элементы на одну сторону:

\( 2y — \sqrt{y} — 1 > 0 \);

Теперь у нас неравенство с корнем, и нам нужно его решить. Для этого воспользуемся методом замены \( \sqrt{y} \). Сначала разложим его как квадратное уравнение. Решим его с использованием дискриминанта.

Шаг 2: Находим дискриминант для уравнения \( 2y — \sqrt{y} — 1 = 0 \). Для этого перепишем его в виде:

\( 2y — \sqrt{y} — 1 = 0 \);

Представим \( \sqrt{y} \) как новую переменную. Пусть \( z = \sqrt{y} \), тогда уравнение становится:

\( 2z^2 — z — 1 = 0 \);

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Вспоминаем формулу для дискриминанта квадратного уравнения \( az^2 + bz + c = 0 \):

\( D = b^2 — 4ac \);

В нашем случае: \( a = 2 \), \( b = -1 \), и \( c = -1 \), подставляем эти значения:

\( D = (-1)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 \);

Теперь находим корни квадратного уравнения по формуле:

\( z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \);

Подставляем значения \( b = -1 \), \( D = 9 \) и \( a = 2 \):

\( z = \frac{-(-1) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm 3}{4} \);

Таким образом, получаем два значения для \( z \):

\( z_1 = \frac{1 — 3}{4} = -\frac{1}{2} \quad \text{и} \quad z_2 = \frac{1 + 3}{4} = 1 \);

Так как \( z = \sqrt{y} \), и \( \sqrt{y} \) всегда неотрицательно, то отрицательное значение \( z_1 = -\frac{1}{2} \) не подходит. Оставляем только \( z_2 = 1 \).

Шаг 3: Подставляем \( z = 1 \) в исходное неравенство. У нас было:

\( \left( \sqrt{y} + \frac{1}{2} \right) \left( \sqrt{y} — 1 \right) > 0 \);

Теперь, поскольку \( \sqrt{y} = 1 \), проверим, что это неравенство выполняется:

\( \left( 1 + \frac{1}{2} \right) \left( 1 — 1 \right) = \left( \frac{3}{2} \right) \cdot 0 = 0 \);

Решение неравенства будет выполняться, если \( \sqrt{y} > 1 \), что означает \( y > 1 \).

Шаг 4: Подставляем \( y = x^2 — x + 1 \) в неравенство \( y > 1 \):

\( x^2 — x + 1 > 1 \);

Упростим неравенство:

\( x^2 — x > 0 \);

Теперь разложим это на множители:

\( x(x — 1) > 0 \);

Решим это неравенство. Для этого определим, где произведение \( x(x — 1) \) положительно. Это происходит, когда оба множителя либо положительные, либо оба отрицательные:

Для \( x(x — 1) > 0 \):

1. \( x > 1 \) или 2. \( x < 0 \);

Шаг 5: Ответ: область решения неравенства — это два интервала:

\( (-\infty; 0) \cup (1; +\infty) \).