ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 1048 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите неравенство:

a) \( \sqrt[3]{x — 1} + \sqrt[3]{x + 1} \leq \frac{|x|}{x}\sqrt{2}; \)

b) \( \sqrt[3]{x — 3} + \sqrt[3]{x + 3} \geq \frac{|x|}{x}\sqrt[5]{6}. \)

a) \( \sqrt[7]{x — 1} + \sqrt[7]{x + 1} \leq \frac{|x|}{x}\sqrt{2}; \)

Левая часть неравенства возрастает:

\( f(-1) = \sqrt[7]{-2} + \sqrt[7]{0} = -\sqrt[7]{2}, \quad x < 0; \)

\( f(1) = \sqrt[7]{0} + \sqrt[7]{2} = \sqrt[7]{2}, \quad x > 0; \)

Область определения:

\( x — 1 \geq 0, \quad x \geq 1; \)

\( x + 1 \geq 0, \quad x \geq -1; \)

Ответ: \( (-\infty; -1] \cup (0; 1]. \)

b) \( \sqrt[5]{x — 3} + \sqrt[5]{x + 3} \geq \frac{|x|}{x}\sqrt[5]{6}; \)

Левая часть неравенства возрастает:

\( f(-3) = \sqrt[5]{-6} + \sqrt[5]{0} = -\sqrt[5]{6}, \quad x < 0; \)

\( f(3) = \sqrt[5]{0} + \sqrt[5]{6} = \sqrt[5]{6}, \quad x > 0; \)

Область определения:

\( x — 3 \geq 0, \quad x \geq 3; \)

\( x + 3 \geq 0, \quad x \geq -3; \)

Ответ: \( [-3; 0) \cup [3; +\infty). \)

a) Решим неравенство: \( \sqrt[7]{x — 1} + \sqrt[7]{x + 1} \leq \frac{|x|}{x} \sqrt{2} \)

Шаг 1: Начнем с того, что левая часть неравенства возрастает. Это означает, что функции \( \sqrt[7]{x — 1} \) и \( \sqrt[7]{x + 1} \) монотонно возрастают для \( x \), при этом \( \sqrt[7]{x — 1} + \sqrt[7]{x + 1} \) возрастает при \( x \geq 1 \) и убывает при \( x \leq -1 \).

Шаг 2: Проверим значение левой части при \( x = -1 \) и \( x = 1 \). Это важно, чтобы понять, как ведет себя функция на этих концах промежутков.

\[
f(-1) = \sqrt[7]{-2} + \sqrt[7]{0} = -\sqrt[7]{2}, \quad x < 0;
\]

\[
f(1) = \sqrt[7]{0} + \sqrt[7]{2} = \sqrt[7]{2}, \quad x > 0;
\]

Шаг 3: Рассмотрим область определения. Так как выражения под корнями должны быть неотрицательными, мы должны иметь следующие ограничения:

\[
x — 1 \geq 0, \quad x \geq 1;
\]

\[
x + 1 \geq 0, \quad x \geq -1;
\]

Шаг 4: Объединяем все условия для области определения. Мы получаем, что значения \( x \) должны удовлетворять условию \( x \geq 1 \). Однако, \( x \) также должно быть ограничено по правой стороне, так как \( x \leq 8 \). Получаем, что:

Ответ: \( (-\infty; -1] \cup (0; 1] \).

b) Решим неравенство: \( \sqrt[5]{x — 3} + \sqrt[5]{x + 3} \geq \frac{|x|}{x} \sqrt[5]{6} \)

Шаг 1: Анализируем левые и правые части неравенства. Левая часть у нас монотонно возрастает, так как и \( \sqrt[5]{x — 3} \), и \( \sqrt[5]{x + 3} \) возрастают при \( x \geq 3 \). Аналогично, правая часть возрастает, так как \( \sqrt[5]{6} \) возрастает при \( x \geq 8 \). Теперь проверим значения на концах промежутков \( x = -3 \) и \( x = 3 \), чтобы точно определить, где выполняется неравенство.

Шаг 2: Проверяем значения левой части при \( x = -3 \) и \( x = 3 \):

\[
f(-3) = \sqrt[5]{-6} + \sqrt[5]{0} = -\sqrt[5]{6}, \quad x < 0;
\]

\[
f(3) = \sqrt[5]{0} + \sqrt[5]{6} = \sqrt[5]{6}, \quad x > 0;
\]

Шаг 3: Рассмотрим область определения. Подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Таким образом, для выражений \( \sqrt[5]{x — 3} \) и \( \sqrt[5]{x + 3} \) ограничения следующие:

\[
x — 3 \geq 0, \quad x \geq 3;
\]

\[
x + 3 \geq 0, \quad x \geq -3;
\]

Шаг 4: Объединяя все условия для области определения, мы получаем, что для выполнения неравенства \( x \leq -3 \) или \( x \geq 3 \).

Ответ: \( [-3; 0) \cup [3; +\infty) \).