ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 1046 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:

\( \begin{cases}
(x — y)^{\frac{1}{3}} + (x — y)^{\frac{1}{2}} = 12, \\
x + y = 6.
\end{cases} \)

Решить систему уравнений:

\( \begin{cases}
(x — y)^{\frac{1}{3}} + (x — y)^{\frac{1}{2}} = 12, \\
x + y = 6
\end{cases} \)

Первое уравнение:

\( (x — y)^{\frac{1}{2}} + (x — y)^{\frac{1}{3}} — 12 = 0; \)

\( (x — y)^{\frac{3}{6}} + (x — y)^{\frac{2}{6}} — 12 = 0; \)

\( (x — y)^{\frac{1}{6}} = 2, \quad x — y = 64, \quad y = x — 64; \)

Второе уравнение:

\( x + x — 64 = 6; \)

\( 2x = 70, \quad x = 35; \)

\( y = 35 — 64 = -29; \)

Ответ: \( (35; -29). \)

Решим систему уравнений:

\[
\begin{cases}
(x — y)^{\frac{1}{3}} + (x — y)^{\frac{1}{2}} = 12, \\
x + y = 6
\end{cases}
\]

Шаг 1: Начнем с первого уравнения системы:

\[
(x — y)^{\frac{1}{3}} + (x — y)^{\frac{1}{2}} = 12;
\]

Шаг 2: Для удобства введем замену \( z = x — y \), чтобы упростить выражения в уравнении. Тогда получаем:

\[
z^{\frac{1}{3}} + z^{\frac{1}{2}} = 12;
\]

Шаг 3: Возведем выражения в одинаковые степени, чтобы упростить их, и приведем к общей степени. Для этого преобразуем уравнение:

\[
z^{\frac{3}{6}} + z^{\frac{2}{6}} = 12;
\]

Шаг 4: Теперь у нас выражение, в котором степени выражены через одну и ту же дробь. Множим обе части на 6, чтобы избавиться от дробей:

\[
z^{\frac{1}{6}} + z^{\frac{1}{6}} = 12;
\]

Шаг 5: Получаем, что:

\[
z^{\frac{1}{6}} = 2 \quad \text{или} \quad x — y = 64;
\]

Шаг 6: Следовательно, \( y = x — 64 \). Подставим это выражение для \( y \) во второе уравнение системы \( x + y = 6 \):

\[
x + (x — 64) = 6;
\]

Шаг 7: Упростим уравнение:

\[
2x — 64 = 6;
\]

Шаг 8: Переносим все числа на одну сторону и решаем относительно \( x \):

\[
2x = 70, \quad x = 35;
\]

Шаг 9: Теперь, зная \( x = 35 \), подставим это значение в выражение для \( y \):

\[
y = 35 — 64 = -29;
\]

Шаг 10: Проверим полученные значения \( x = 35 \) и \( y = -29 \) в исходной системе уравнений. Подставляем \( x = 35 \) и \( y = -29 \) в первое уравнение:

\[
(35 — (-29))^{\frac{1}{3}} + (35 — (-29))^{\frac{1}{2}} = 12;
\]

Шаг 11: Проверим вычисления:

\[
(35 + 29)^{\frac{1}{3}} + (35 + 29)^{\frac{1}{2}} = 12;
\]

\[
64^{\frac{1}{3}} + 64^{\frac{1}{2}} = 12;
\]

\[
4 + 8 = 12;
\]

Ответ: \( x = 35, \, y = -29 \).