ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 1045 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите корни уравнений:

a) \( \sqrt{x + \sqrt{x}} — \sqrt{x — \sqrt{x}} = \frac{3}{2} \sqrt{\frac{x}{x + \sqrt{x}}}; \)

b) \( \frac{\sqrt{x + \sqrt{x — 4\sqrt{x}}} — \sqrt{x — \sqrt{x — 4\sqrt{x}}}}{\sqrt{x + \sqrt{x — 4\sqrt{x}}} + \sqrt{x + \sqrt{x — 4\sqrt{x}}}} = \sqrt[4]{x}. \)

Решить уравнение:

a) \( \sqrt{x + \sqrt{x}} — \sqrt{x — \sqrt{x}} = \frac{3}{2} \sqrt{\frac{x}{x + \sqrt{x}}}; \)

\( x + \sqrt{x} — \sqrt{x^2 — x} = \frac{3}{2} \sqrt{x}; \)

\( 2x + 2\sqrt{x} = 3\sqrt{x} + 2\sqrt{x^2 — x}; \)

\( 2\sqrt{x^2 — x} = 2x — \sqrt{x}; \)

\( 4(x^2 — x) = 4x^2 — 4x\sqrt{x} + x; \)

\( 4x^2 — 4x = 4x^2 — 4x\sqrt{x} + x; \)

\( 4x\sqrt{x} = 5x, \quad 4\sqrt{x} = 5; \)

\( \sqrt{x} = \frac{5}{4}, \quad x = \frac{25}{16}; \)

Область определения:

\( x + \sqrt{x} \neq 0, \quad x > 0; \)

Ответ: \( \frac{25}{16}. \)

b) \( \frac{\sqrt{x + \sqrt{x — 4\sqrt{x}}} — \sqrt{x — \sqrt{x — 4\sqrt{x}}}}{\sqrt{x + \sqrt{x — 4\sqrt{x}}} + \sqrt{x + \sqrt{x — 4\sqrt{x}}}} = \sqrt[4]{x}; \)

\( 2\sqrt{x^2 — 4x\sqrt{x}} + 2\sqrt{x^2 — 4x\sqrt{x}} = \sqrt{x}; \)

\( x — (x — 4\sqrt{x}) = \sqrt{x}; \)

\( 4\sqrt{x^2 — 4x\sqrt{x}} = 4\sqrt{x}; \)

\( \sqrt{x — 4\sqrt{x}} = \sqrt[4]{x}; \)

\( x — 4\sqrt{x} = \sqrt{x}; \)

\( x = 5\sqrt{x}, \quad \sqrt{x} = 5; \)

\( x = 5^2 = 25; \)

Область определения:

\( \sqrt{x} — \sqrt{x — 4\sqrt{x}} = 0; \)

\( x \neq 0, \quad x \geq 0, \quad x > 0; \)

Ответ: \( 25. \)

a) Решим уравнение: \( \sqrt{x + \sqrt{x}} — \sqrt{x — \sqrt{x}} = \frac{3}{2} \sqrt{\frac{x}{x + \sqrt{x}}} \)

Шаг 1: Начнем с преобразования уравнения:

\[
x + \sqrt{x} — \sqrt{x^2 — x} = \frac{3}{2} \sqrt{x};
\]

Шаг 2: Умножим обе части на 2 для устранения дроби:

\[
2x + 2\sqrt{x} = 3\sqrt{x} + 2\sqrt{x^2 — x};
\]

Шаг 3: Переносим все на одну сторону:

\[
2\sqrt{x^2 — x} = 2x — \sqrt{x};
\]

Шаг 4: Возводим обе части уравнения в квадрат:

\[
4(x^2 — x) = 4x^2 — 4x\sqrt{x} + x;
\]

Шаг 5: Упрощаем и получаем следующее уравнение:

\[
4x^2 — 4x = 4x^2 — 4x\sqrt{x} + x;
\]

Шаг 6: Переносим все на одну сторону:

\[
4x\sqrt{x} = 5x;
\]

Шаг 7: Упростим уравнение:

\[
4\sqrt{x} = 5;
\]

Шаг 8: Разделим обе части на 4:

\[
\sqrt{x} = \frac{5}{4};
\]

Шаг 9: Возводим обе части в квадрат:

\[
x = \left(\frac{5}{4}\right)^2 = \frac{25}{16};
\]

Область определения: \( x + \sqrt{x} \neq 0, \quad x > 0; \)

Ответ: \( x = \frac{25}{16} \).

b) Решим уравнение: \( \frac{\sqrt{x + \sqrt{x — 4\sqrt{x}}} — \sqrt{x — \sqrt{x — 4\sqrt{x}}}}{\sqrt{x + \sqrt{x — 4\sqrt{x}}} + \sqrt{x + \sqrt{x — 4\sqrt{x}}}} = \sqrt[4]{x} \)

Шаг 1: Начнем с упрощения уравнения:

\[
2\sqrt{x^2 — 4x\sqrt{x}} + 2\sqrt{x^2 — 4x\sqrt{x}} = \sqrt{x};
\]

Шаг 2: Упростим выражения:

\[
x — (x — 4\sqrt{x}) = \sqrt{x};
\]

Шаг 3: Упростим обе части уравнения:

\[
4\sqrt{x^2 — 4x\sqrt{x}} = 4\sqrt{x};
\]

Шаг 4: Упростим обе стороны уравнения:

\[
\sqrt{x — 4\sqrt{x}} = \sqrt[4]{x};
\]

Шаг 5: Преобразуем уравнение:

\[
x — 4\sqrt{x} = \sqrt{x};
\]

Шаг 6: Переносим все слагаемые на одну сторону:

\[
x = 5\sqrt{x};
\]

Шаг 7: Разделим обе части на \( \sqrt{x} \):

\[
\sqrt{x} = 5;
\]

Шаг 8: Возводим обе стороны в квадрат:

\[
x = 5^2 = 25;
\]

Область определения: \( \sqrt{x} — \sqrt{x — 4\sqrt{x}} = 0; \) Таким образом, \( x \geq 0 \) и \( x > 0 \).

Ответ: \( x = 25 \).