ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 1044 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите относительно \( x \) уравнение: \( (a + x)^2 + 4(a — x)^2 = 5(a^2 — x^2)^{\frac{1}{3}}. \)

Решить относительно \( x \) уравнение:

\( (a + x)^{\frac{2}{3}} + 4(a — x)^{\frac{1}{2}} = 5(a^2 — x^2)^{\frac{1}{3}}; \)

\( \sqrt[3]{\frac{a + x}{a — x}} + 4\sqrt[3]{\frac{a — x}{a + x}} = 5; \)

Пусть \( y = \sqrt[3]{\frac{a + x}{a — x}}, \) тогда:

\( y + \frac{4}{y} = 5; \)

\( y^2 — 5y + 4 = 0; \)

\( D = 5^2 — 4 \cdot 4 = 25 — 16 = 9, \) тогда:

\( y_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4; \)

Первое значение:

\( \sqrt[3]{\frac{a + x}{a — x}} = 1; \)

\( \frac{a + x}{a — x} = 1; \)

\( a + x = a — x; \)

\( 2x = 0, \quad x = 0; \)

Второе значение:

\( \sqrt[3]{\frac{a + x}{a — x}} = 4; \)

\( \frac{a + x}{a — x} = 64; \)

\( a + x = 64a — 64x; \)

\( 65x = 63a, \quad x = \frac{63}{65}a; \)

Область определения:

\( a + x \geq 0, \quad x \geq -a; \)

\( a — x \geq 0, \quad x \leq a; \)

Ответ: если \( a < 0 \), то корней нет;

если \( a = 0 \), то \( x = 0 \);

если \( a > 0 \), то \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = \frac{63a}{65}. \)

Решим уравнение относительно \( x \):

Исходное уравнение:

\[
(a + x)^{\frac{2}{3}} + 4(a — x)^{\frac{1}{2}} = 5(a^2 — x^2)^{\frac{1}{3}};
\]

Шаг 1: Перепишем уравнение в более удобной форме:

\[
\sqrt[3]{\frac{a + x}{a — x}} + 4\sqrt[3]{\frac{a — x}{a + x}} = 5;
\]

Шаг 2: Пусть \( y = \sqrt[3]{\frac{a + x}{a — x}} \), тогда у нас получается:

\[
y + \frac{4}{y} = 5;
\]

Шаг 3: Умножим обе части на \( y \) для упрощения выражения:

\[
y^2 — 5y + 4 = 0;
\]

Шаг 4: Решим квадратное уравнение. Рассчитаем дискриминант:

\[
D = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 — 16 = 9, \text{ тогда:}
\]

Шаг 5: Находим корни уравнения:

\[
y_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4;
\]

Шаг 6: Рассмотрим первое значение \( y_1 = 1 \):

\[
\sqrt[3]{\frac{a + x}{a — x}} = 1;
\]

Шаг 7: Возводим обе части в куб:

\[
\frac{a + x}{a — x} = 1;
\]

Шаг 8: Преобразуем уравнение:

\[
a + x = a — x;
\]

\[
2x = 0, \quad x = 0;
\]

Шаг 9: Рассмотрим второе значение \( y_2 = 4 \):

\[
\sqrt[3]{\frac{a + x}{a — x}} = 4;
\]

Шаг 10: Возводим обе части в куб:

\[
\frac{a + x}{a — x} = 64;
\]

Шаг 11: Преобразуем уравнение:

\[
a + x = 64a — 64x;
\]

\[
65x = 63a, \quad x = \frac{63}{65}a;
\]

Шаг 12: Рассмотрим область определения:

У нас есть два условия:

\[
a + x \geq 0, \quad x \geq -a;
\]

\[
a — x \geq 0, \quad x \leq a;
\]

Ответ:

Если \( a < 0 \), то корней нет.

Если \( a = 0 \), то \( x = 0 \).

Если \( a > 0 \), то \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = \frac{63a}{65} \).