ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 1042 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:

a) \( \begin{cases}
\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 3, \\
xy = 8;
\end{cases} \)

b) \( \begin{cases}
\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} — \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}} = \frac{3}{2}, \\
x + xy + y = 9.
\end{cases} \)

Решить систему уравнений:

a) \( \begin{cases}
\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 3, \\
xy = 8;
\end{cases} \)

Второе уравнение:

\( y = \frac{8}{x}; \)

Первое уравнение:

\( \sqrt[3]{x} + \frac{2}{\sqrt[3]{x}} = 3; \)

\( \sqrt[3]{x^2} — 3\sqrt[3]{x} + 2 = 0; \)

\( D = 3^2 — 4 \cdot 2 = 9 — 8 = 1, \) тогда:

\( \sqrt[3]{x_1} = \frac{3 — 1}{2} = 1 \quad \text{и} \quad \sqrt[3]{x_2} = \frac{3 + 1}{2} = 2; \)

\( x_1 = 1^3 = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = 2^3 = 8; \)

\( y_1 = \frac{8}{1} = 8 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{8}{8} = 1; \)

Ответ: \( (1; 8); (8; 1). \)

b) \( \begin{cases}
\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} — \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}} = \frac{3}{2}, \\
x + xy + y = 9;
\end{cases} \)

Первое уравнение:

\( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} — \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}} = \frac{3}{2}; \)

\( 2 \cdot \frac{x}{y} — 3 \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} — 2 = 0; \)

\( D = 3^2 + 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 + 16 = 25, \) тогда:

\( \frac{\sqrt{x_1}}{\sqrt{y_1}} = \frac{3 — 5}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{2} \quad \text{и} \quad \frac{\sqrt{x_2}}{\sqrt{y_2}} = \frac{3 + 5}{2 \cdot 2} = 2; \)

\( \frac{x}{y} = 4, \quad y = \frac{x}{4}; \)

Второе уравнение:

\( x + x \cdot \frac{x}{4} + \frac{x}{4} = 9; \)

\( x^2 + 5x — 36 = 0; \)

\( D = 5^2 + 4 \cdot 36 = 25 + 144 = 169, \) тогда:

\( x_1 = \frac{-5 — 13}{2} = -9 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-5 + 13}{2} = 4; \)

\( y_1 = \frac{9}{4} = -2.25 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{4}{4} = 1; \)

Ответ: \( (-9; -2.25); (4; 1). \)

a) Решим систему уравнений:

\[
\begin{cases}
\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 3, \\
xy = 8;
\end{cases}
\]

Шаг 1: Из второго уравнения выразим \( y \):

\[
y = \frac{8}{x};
\]

Шаг 2: Подставим это выражение для \( y \) в первое уравнение:

\[
\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{\frac{8}{x}} = 3;
\]

Шаг 3: Упростим второе слагаемое:

\[
\sqrt[3]{x} + \frac{2}{\sqrt[3]{x}} = 3;
\]

Шаг 4: Пусть \( z = \sqrt[3]{x} \), тогда \( z^3 = x \). Уравнение преобразуется в:

\[
z + \frac{2}{z} = 3;
\]

Шаг 5: Умножим обе части на \( z \), чтобы избавиться от дроби:

\[
z^2 + 2 = 3z;
\]

Шаг 6: Переносим все в одну сторону:

\[
z^2 — 3z + 2 = 0;
\]

Шаг 7: Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[
D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1, \text{ тогда:}
\]

\[
z_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1 \quad \text{и} \quad z_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2;
\]

Шаг 8: Переходим обратно к \( x \), так как \( z = \sqrt[3]{x} \):

\[
x_1 = 1^3 = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = 2^3 = 8;
\]

Шаг 9: Подставляем найденные значения \( x_1 \) и \( x_2 \) в выражение для \( y \):

\[
y_1 = \frac{8}{1} = 8 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{8}{8} = 1;
\]

Ответ: \( (1; 8), (8; 1) \).\

b) Решим систему уравнений:

\[
\begin{cases}
\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} — \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}} = \frac{3}{2}, \\
x + xy + y = 9;
\end{cases}
\]

Шаг 1: Из первого уравнения:

\[
\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} — \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}} = \frac{3}{2};
\]

Шаг 2: Умножим обе части на \( \sqrt{x} \cdot \sqrt{y} \), чтобы избавиться от дробей:

\[
\frac{x}{y} — \frac{y}{x} = \frac{3}{2};
\]

Шаг 3: Умножим обе части на 2:

\[
2 \cdot \frac{x}{y} — 2 \cdot \frac{y}{x} = 3;
\]

Шаг 4: Теперь у нас выражение:

\[
\frac{2x}{y} — \frac{2y}{x} = 3;
\]

Шаг 5: Мы знаем, что \( \frac{x}{y} = 4 \) и \( y = \frac{x}{4} \) из второй части уравнения.

Шаг 6: Подставим это в второе уравнение:

\[
x + x \cdot \frac{x}{4} + \frac{x}{4} = 9;
\]

Шаг 7: Упростим уравнение:

\[
x^2 + 5x — 36 = 0;
\]

Шаг 8: Рассчитаем дискриминант:

\[
D = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169, \text{ тогда:}
\]

Шаг 9: Находим корни уравнения:

\[
x_1 = \frac{-5 — 13}{2} = -9 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-5 + 13}{2} = 4;
\]

Шаг 10: Теперь находим значения \( y \) при \( x_1 \) и \( x_2 \):

\[
y_1 = \frac{9}{4} = -2.25 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{4}{4} = 1;
\]

Ответ: \( (-9; -2.25), (4; 1) \).