ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 1041 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) \(\frac{1}{1 — \sqrt{1 — x}} — \frac{1}{1 + \sqrt{1 — x}} = \frac{1}{x}\);

б) \(\sqrt[3]{621 + x} + \sqrt[3]{77 + x} = 8\);

в) \(\sqrt[3]{x — 5} + \sqrt[3]{x — 12} = 1,5 \sqrt[3]{(x — 5)(x — 12)}\);

г) \(\sqrt{x + 2\sqrt{x — 1}} — \sqrt{x — 2\sqrt{x — 1}} = 2\).

Решить уравнение:

a) \( \frac{1}{1 — \sqrt{1 — x}} — \frac{1}{1 + \sqrt{1 — x}} = \frac{1}{x} \);

Пусть \( y = \sqrt{1 — x} \), тогда:

\( y^2 = 1 — x, \quad x = 1 — y^2; \)

\( \frac{1}{1 — y} — \frac{1}{1 + y} = \frac{1}{1 — y^2}; \)

\( (1 + y) — (1 — y) = 1; \)

\( 2y = 1, \quad y = \frac{1}{2}; \)

Вернем замену:

\( \sqrt{1 — x} = \frac{1}{2}; \)

\( 1 — x = \frac{1}{4}; \)

\( x = \frac{3}{4}; \)

Ответ: \( \frac{3}{4}. \)

b) \( \sqrt[4]{621 + x} + \sqrt[4]{77 + x} = 8; \)

Левая часть равенства возрастает:

\( f(4) = \sqrt[4]{625} + \sqrt[4]{81} = 5 + 3 = 8; \)

Ответ: 4.

в) \( \sqrt[3]{x — 5} + \sqrt[3]{x — 12} = 1.5 \sqrt[6]{8(x — 5)(x — 12)}; \)

\( \frac{\sqrt[6]{x — 5}}{\sqrt{x — 12}} + \frac{\sqrt[6]{x — 12}}{\sqrt{x — 5}} = 1.5 \sqrt[6]{8}; \)

Пусть \( y = \sqrt[6]{\frac{x — 5}{x — 12}}, \) тогда:

• \( y + \frac{1}{y} = 1.5 \sqrt{2}; \)
• \( 2y^2 — 3\sqrt{2}y + 2 = 0; \)
• \( D = (3\sqrt{2})^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 18 — 16 = 2, \) тогда:
• \( y_1 = \frac{3\sqrt{2} — \sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \) и \( y_2 = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \sqrt{2}; \)

Первое значение:

\( \sqrt[6]{\frac{x — 5}{x — 12}} = \frac{\sqrt{2}}{2}; \)

\( 8x — 40 = x — 12; \)

\( 7x = 28, \quad x = 4; \)

Второе значение:

\( \sqrt[6]{\frac{x — 5}{x — 12}} = \sqrt{2}; \)

\( \frac{x — 5}{x — 12} = 8; \)

\( x — 5 = 8x — 96; \)

\( 7x = 91, \quad x = 13; \)

Ответ: \( 4; \, 13. \)

г) \( \sqrt{x + 2\sqrt{x — 1}} — \sqrt{x — 2\sqrt{x — 1}} = 2; \)

\( \sqrt{x + 2\sqrt{x — 1}} = 2 + \sqrt{x — 2\sqrt{x — 1}}; \)

\( x + 2\sqrt{x — 1} = 4 + 4\sqrt{x — 2\sqrt{x — 1}} + x — 2\sqrt{x — 1}; \)

\( 4\sqrt{x — 2\sqrt{x — 1}} = 4\sqrt{x — 1} — 4; \)

\( \sqrt{x — 2\sqrt{x — 1}} = \sqrt{x — 1} — 1; \)

\( x — 2\sqrt{x — 1} = x — 1 — 2\sqrt{x — 1} + 1; \)

\( -2\sqrt{x — 1} = -2\sqrt{x — 1}, \quad x \in \mathbb{R}; \)

Область определения:

\( \sqrt{x — 1} — 1 \geq 0; \)

\( \sqrt{x — 1} \geq 1; \)

\( x — 1 \geq 1, \quad x \geq 2; \)

Ответ: \( [2; +\infty). \)

a) Решим уравнение: \( \frac{1}{1 — \sqrt{1 — x}} — \frac{1}{1 + \sqrt{1 — x}} = \frac{1}{x} \)

Шаг 1: Пусть \( y = \sqrt{1 — x} \), тогда:

— \( y^2 = 1 — x \);

— \( x = 1 — y^2 \);

Шаг 2: Подставляем замену в исходное уравнение:

\[
\frac{1}{1 — y} — \frac{1}{1 + y} = \frac{1}{1 — y^2};
\]

Шаг 3: Преобразуем левую часть уравнения, для чего приводим дроби к общему знаменателю:

\[
\frac{1}{1 — y} — \frac{1}{1 + y} = \frac{(1 + y) — (1 — y)}{(1 — y)(1 + y)} = \frac{1 + y — 1 + y}{1 — y^2} = \frac{2y}{1 — y^2};
\]

Шаг 4: Теперь у нас уравнение:

\[
\frac{2y}{1 — y^2} = \frac{1}{1 — y^2};
\]

Шаг 5: Умножим обе части уравнения на \( 1 — y^2 \) (при \( y^2 \neq 1 \), так как деление на ноль невозможно):

\[
2y = 1;
\]

Шаг 6: Получаем, что:

\[
y = \frac{1}{2};
\]

Шаг 7: Возвращаем замену \( y = \sqrt{1 — x} \):

\[
\sqrt{1 — x} = \frac{1}{2};
\]

Шаг 8: Возводим обе стороны уравнения в квадрат:

\[
1 — x = \frac{1}{4};
\]

Шаг 9: Решаем относительно \( x \):

\[
x = 1 — \frac{1}{4} = \frac{3}{4}.
\]

Ответ: \( x = \frac{3}{4} \).

b) Решим уравнение: \( \sqrt[4]{621 + x} + \sqrt[4]{77 + x} = 8 \)

Шаг 1: Левая часть уравнения возрастает, так как обе функции \( \sqrt[4]{621 + x} \) и \( \sqrt[4]{77 + x} \) монотонно возрастающие.

Шаг 2: Проверим значение при \( x = 4 \):

\[
f(4) = \sqrt[4]{625} + \sqrt[4]{81} = 5 + 3 = 8;
\]

Шаг 3: Получаем, что при \( x = 4 \), левая часть равна 8, что совпадает с правой частью уравнения.

Ответ: \( x = 4 \).

в) Решим уравнение: \( \sqrt[3]{x — 5} + \sqrt[3]{x — 12} = 1.5 \sqrt[6]{8(x — 5)(x — 12)} \)

Шаг 1: Пусть \( y = \sqrt[6]{\frac{x — 5}{x — 12}} \), тогда:

— \( y + \frac{1}{y} = 1.5 \sqrt{2}; \)

Шаг 2: Решим квадратное уравнение для \( y \):

\[
2y^2 — 3\sqrt{2}y + 2 = 0;
\]

Шаг 3: Рассчитаем дискриминант:

\[
D = (3\sqrt{2})^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 18 — 16 = 2;
\]

Шаг 4: Решим уравнение для \( y \):

\[
y_1 = \frac{3\sqrt{2} — \sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad y_2 = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \sqrt{2};
\]

Шаг 5: Вернем замену \( y = \sqrt[6]{\frac{x — 5}{x — 12}} \):

\[
\sqrt[6]{\frac{x — 5}{x — 12}} = \frac{\sqrt{2}}{2};
\]

Шаг 6: Решим для \( x \):

\[
\frac{x — 5}{x — 12} = \frac{1}{8};
\]

Шаг 7: Умножим обе части на 8:

\[
8(x — 5) = x — 12;
\]

Шаг 8: Преобразуем:

\[
8x — 40 = x — 12;
\]

\[
7x = 28, \quad x = 4;
\]

Шаг 9: Для второго значения \( y = \sqrt{2} \):

\[
\sqrt[6]{\frac{x — 5}{x — 12}} = \sqrt{2};
\]

Шаг 10: Получаем:

\[
\frac{x — 5}{x — 12} = 8;
\]

Шаг 11: Решаем для \( x \):

\[
x — 5 = 8x — 96;
\]

\[
7x = 91, \quad x = 13;
\]

Ответ: \( x = 4; 13 \).

г) Решим уравнение: \( \sqrt{x + 2\sqrt{x — 1}} — \sqrt{x — 2\sqrt{x — 1}} = 2 \)

Шаг 1: Пусть \( z = \sqrt{x — 1} \), тогда \( x = z^2 + 1 \).

Шаг 2: Подставим \( z \) в уравнение:

\[
\sqrt{z^2 + 1 + 2z} — \sqrt{z^2 + 1 — 2z} = 2;
\]

Шаг 3: Упростим выражения под корнями:

\[
\sqrt{(z + 1)^2} — \sqrt{(z — 1)^2} = 2;
\]

Шаг 4: Получаем:

\[
(z + 1) — (z — 1) = 2;
\]

Шаг 5: Упростим:

\[
2 = 2;
\]

Шаг 6: Получили, что уравнение выполняется для всех значений \( x \geq 2 \).

Ответ: \( x \in [2, +\infty) \).