ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 1040 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите уравнение \((n \in \mathbb{N}\) и \(n > 1)\):

a) \( \sqrt[n]{(x + 1)^2} + \sqrt[n]{(x — 1)^2} = 4\sqrt[n]{x^2 — 1} \);

b) \( \sqrt[n]{(1 + x)^2} — \sqrt[n]{(1 — x)^2} = \sqrt[n]{1 — x^2} \).

Решить уравнение:

a) \( \sqrt[n]{(x + 1)^2} + \sqrt[n]{(x — 1)^2} = 4\sqrt[n]{x^2 — 1} \);

Пусть \( y = \sqrt[n]{\frac{x + 1}{x — 1}} \), тогда:
\[
y + \frac{1}{y} = 4, \quad y^2 — 4y + 1 = 0;
\]

\[
D = 4^2 — 4 \cdot 1 = 16 — 4 = 12, \text{ тогда:}
\]

\[
y = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3};
\]

Вернем замену:
\[
\sqrt[n]{\frac{x + 1}{x — 1}} = 2 \pm \sqrt{3};
\]

\[
\frac{x + 1}{x — 1} = (2 \pm \sqrt{3})^n;
\]

\[
x + 1 = x(2 \pm \sqrt{3})^n — (2 \pm \sqrt{3})^n;
\]

\[
x\left((2 \pm \sqrt{3})^n — 1\right) = 1 + (2 \pm \sqrt{3})^n;
\]

\[
x = \frac{(2 \pm \sqrt{3})^n + 1}{(2 \pm \sqrt{3})^n — 1};
\]

Ответ:
\[
x_1 = \frac{(2 + \sqrt{3})^n + 1}{(2 + \sqrt{3})^n — 1}, \quad x_2 = \frac{(2 + \sqrt{3})^n + 1}{(2 + \sqrt{3})^n — 1}.
\]

b) \( \sqrt[n]{(1 + x)^2} — \sqrt[n]{(1 — x)^2} = \sqrt[n]{1 — x^2} \);

Пусть \( y = \sqrt[n]{\frac{1 + x}{1 — x}} \), тогда:

\[
y — \frac{1}{y} = 1, \quad y^2 — y — 1 = 0;
\]

\[
D = 1^2 + 4 \cdot 1 = 1 + 4 = 5, \text{ тогда:}
\]

\[
y_1 = \frac{1 — \sqrt{5}}{2} \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2};
\]

Вернем замену:
\[
\sqrt[n]{\frac{1 + x}{1 — x}} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2};
\]

\[
\frac{1 + x}{1 — x} = \left(\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\right)^n;
\]

\[
1 + x = \left(\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\right)^n (1 — x);
\]

\[
x\left(1 + \left(\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\right)^n\right) = \left(\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\right)^n — 1;
\]

\[
x = \frac{\left(\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\right)^n — 1}{\left(\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\right)^n + 1};
\]

Ответ:
\[
x_1 = \frac{\left(\frac{1 — \sqrt{5}}{2}\right)^n — 1}{\left(\frac{1 — \sqrt{5}}{2}\right)^n + 1}, \quad x_2 = \frac{\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^n — 1}{\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^n + 1};
\]

\( x_2 \) при четном \( n \); \( x_1 \) и \( x_2 \) при нечетном \( n \).

a) Решим уравнение: \( \sqrt[n]{(x + 1)^2} + \sqrt[n]{(x — 1)^2} = 4\sqrt[n]{x^2 — 1} \);

Шаг 1: Введем замену. Пусть \( y = \sqrt[n]{\frac{x + 1}{x — 1}} \), тогда у нас получится следующее уравнение:

\[
y + \frac{1}{y} = 4, \quad y^2 — 4y + 1 = 0;
\]

Шаг 2: Теперь решим квадратное уравнение для \( y \):

Для этого используем формулу дискриминанта:

\[
D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 — 4 = 12, \text{ тогда:}
\]

Шаг 3: Решаем для \( y \):

\[
y = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3};
\]

Шаг 4: Вернем нашу замену \( y = \sqrt[n]{\frac{x + 1}{x — 1}} \). Теперь получаем:

\[
\sqrt[n]{\frac{x + 1}{x — 1}} = 2 \pm \sqrt{3};
\]

Шаг 5: Возводим обе стороны уравнения в степень \( n \), чтобы избавиться от корня:

\[
\frac{x + 1}{x — 1} = (2 \pm \sqrt{3})^n;
\]

Шаг 6: Решаем для \( x \):

Умножаем обе части уравнения на \( x — 1 \):

\[
x + 1 = x(2 \pm \sqrt{3})^n — (2 \pm \sqrt{3})^n;
\]

Шаг 7: Переносим все слагаемые с \( x \) в левую часть:

\[
x\left((2 \pm \sqrt{3})^n — 1\right) = 1 + (2 \pm \sqrt{3})^n;
\]

Шаг 8: Извлекаем \( x \):

\[
x = \frac{(2 \pm \sqrt{3})^n + 1}{(2 \pm \sqrt{3})^n — 1};
\]

Ответ: \( x_1 = \frac{(2 + \sqrt{3})^n + 1}{(2 + \sqrt{3})^n — 1}, \quad x_2 = \frac{(2 — \sqrt{3})^n + 1}{(2 — \sqrt{3})^n — 1}. \)

b) Решим уравнение: \( \sqrt[n]{(1 + x)^2} — \sqrt[n]{(1 — x)^2} = \sqrt[n]{1 — x^2} \);

Шаг 1: Введем замену. Пусть \( y = \sqrt[n]{\frac{1 + x}{1 — x}} \), тогда у нас получится следующее уравнение:

\[
y — \frac{1}{y} = 1, \quad y^2 — y — 1 = 0;
\]

Шаг 2: Решим квадратное уравнение для \( y \):

Для этого используем формулу дискриминанта:

\[
D = 1^2 + 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 + 4 = 5, \text{ тогда:}
\]

Шаг 3: Решаем для \( y \):

\[
y_1 = \frac{1 — \sqrt{5}}{2} \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2};
\]

Шаг 4: Вернем нашу замену \( y = \sqrt[n]{\frac{1 + x}{1 — x}} \), получаем следующее уравнение:

\[
\frac{1 + x}{1 — x} = \left(\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\right)^n;
\]

Шаг 5: Решаем для \( x \):

Умножаем обе части уравнения на \( 1 — x \):

\[
1 + x = \left(\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\right)^n (1 — x);
\]

Шаг 6: Переносим все слагаемые с \( x \) в левую часть:

\[
x\left(1 + \left(\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\right)^n\right) = \left(\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\right)^n — 1;
\]

Шаг 7: Извлекаем \( x \):

\[
x = \frac{\left(\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\right)^n — 1}{\left(\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\right)^n + 1};
\]

Ответ: \( x_1 = \frac{\left(\frac{1 — \sqrt{5}}{2}\right)^n — 1}{\left(\frac{1 — \sqrt{5}}{2}\right)^n + 1}, \quad x_2 = \frac{\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^n — 1}{\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^n + 1}; \)

Для четного \(n\) \( x_2 \), а для нечетного \(n\) \( x_1 \) и \( x_2 \).