ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 1038 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:

a)
\[
\begin{cases}
(\sqrt[4]{x} — \sqrt[4]{y})(\sqrt{x} — \sqrt{y}) = 16, \\
(\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y}) = 40;
\end{cases}
\]

b)
\[
\begin{cases}
x + y + \sqrt{x} + \sqrt{y} = 32, \\
12(\sqrt{x} + \sqrt{y}) = 7\sqrt{xy};
\end{cases}
\]

в)
\[
\begin{cases}
\frac{\sqrt{x} — 2\sqrt{y}}{\sqrt{5x} + y} + \sqrt{5x — y} = 4;
\end{cases}
\]

г)
\[
\begin{cases}
\sqrt[3]{x + y} — \sqrt[3]{x — y} = 2, \\
\sqrt{x + y} — \sqrt{x — y} = 8.
\end{cases}
\]

Решить систему уравнений:

a)
\[
\begin{cases}
(\sqrt[4]{x} — \sqrt[4]{y})(\sqrt{x} — \sqrt{y}) = 16, \\
(\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y}) = 40;
\end{cases}
\]

Частное уравнений:
\[
\frac{(\sqrt[4]{x} — \sqrt[4]{y})^2 (\sqrt{x} + \sqrt{y})}{(\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y})(\sqrt{x} — \sqrt{y})} = \frac{2}{5};
\]

\[
5(\sqrt{x} — 2\sqrt[4]{xy} + \sqrt{y}) = 2(\sqrt{x} + \sqrt{y});
\]

\[
5\sqrt{x} — 10\sqrt[4]{xy} + 5\sqrt{y} = 2\sqrt{x} + 2\sqrt{y};
\]

\[
3\sqrt{x} — 10\sqrt[4]{xy} + 3\sqrt{y} = 0;
\]

\[
3\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} — 10\sqrt[4]{\frac{x}{y}} + 3 = 0;
\]

\[
D = 10^2 — 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 — 36 = 64, \text{ тогда:}
\]

\[
\sqrt[4]{\frac{x}{y_1}} = \frac{10 — 8}{2 \cdot 3} = \frac{1}{3} \quad \text{и} \quad \sqrt[4]{\frac{x}{y_2}} = \frac{10 + 8}{2 \cdot 3} = 3;
\]

\[
\frac{x}{y_1} = \left(\frac{1}{3}\right)^4 = \frac{1}{81}, \quad y_1 = 81x \quad \text{и} \quad \frac{x}{y_2} = 3^4 = 81, \quad y_2 = \frac{x}{81}.
\]

Первое значение:
\[
(\sqrt[4]{x} — \sqrt[4]{9x})(\sqrt{x} — \sqrt{9x}) = 16;
\]

\[
-2\sqrt[4]{x}(-8\sqrt{x}) = 16;
\]

\[
16x^{\frac{3}{4}} = 16, \quad x^{\frac{3}{4}} = 1;
\]

\[
x = 1, \quad y = 81 \cdot 1 = 81.
\]

Второе значение:
\[
\left(\sqrt[4]{x} — \frac{\sqrt[4]{x}}{3}\right)\left(\sqrt{x} — \frac{\sqrt{x}}{9}\right) = 16;
\]

\[
\frac{2}{3}\sqrt[4]{x} \cdot \frac{8}{9}\sqrt{x} = 16;
\]

\[
\frac{16}{27}x^{\frac{3}{4}} = 16, \quad x^{\frac{3}{4}} = 27;
\]

\[
x = 3^4 = 81, \quad y = \frac{81}{81} = 1.
\]

Ответ: \( (1; 81); (81; 1) \).

b)
\[
\begin{cases}
x + y + \sqrt{x} + \sqrt{y} = 32, \\
12(\sqrt{x} + \sqrt{y}) = 7\sqrt{xy};
\end{cases}
\]

Второе уравнение:
\[
\sqrt{x} + \sqrt{y} = \frac{7\sqrt{xy}}{12};
\]

Первое уравнение:
\[
(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 — 2\sqrt{xy} + \sqrt{x} + \sqrt{y} = 32;
\]

\[
\frac{49xy}{144} — 2\sqrt{xy} + \frac{7\sqrt{xy}}{12} = 32;
\]

\[
49xy — 288\sqrt{xy} + 84\sqrt{xy} = 4608;
\]

\[
49xy — 204\sqrt{xy} — 4608 = 0;
\]

\[
D = 204^2 + 4 \cdot 49 \cdot 4608 = 41616 + 903168 = 944784, \text{ тогда:}
\]

\[
\sqrt{xy_1} = \frac{204 — \sqrt{944784}}{2 \cdot 49} < 0 \quad \text{и} \quad \sqrt{xy_2} =\]

\[\frac{204 + \sqrt{944784}}{2 \cdot 49} = \frac{1176}{98} = 12;
\]

\[
xy = 144, \quad y = \frac{144}{x}.
\]

Вернем значение:
\[
12\left(\sqrt{x} + \frac{12}{\sqrt{x}}\right) = 7 \cdot 12;
\]

\[
x — 7\sqrt{x} + 12 = 0;
\]

\[
D = 7^2 — 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 — 48 = 1, \text{ тогда:}
\]

\[
\sqrt{x_1} = \frac{7 — 1}{2} = 3 \quad \text{и} \quad \sqrt{x_2} = \frac{7 + 1}{2} = 4;
\]

\[
x_1 = 9, \quad y_1 = 16 \quad \text{и} \quad x_2 = 16, \quad y_2 = 9.
\]

Ответ: \( (9; 16); (16; 9) \).

в)
\[
\begin{cases}
\frac{\sqrt{y} — 2\sqrt{x}}{\sqrt{x}} — 2 = 0, \\
\frac{\sqrt{5x} + y + \sqrt{5x} — y}{4} = 4;
\end{cases}
\]

Первое уравнение:
\[
\frac{y}{x} — \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}} — 2 = 0;
\]

\[
D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \text{ тогда:}
\]

\[
\frac{\sqrt{y_1}}{\sqrt{x}} = \frac{1 — 3}{2} = -1 \quad \text{и} \quad \frac{\sqrt{y_2}}{\sqrt{x}} = \frac{1 + 3}{2} = 2;
\]

\[
y = 4, \quad y = 4x.
\]

Второе уравнение:
\[
\sqrt{5x} + 4x + \sqrt{5x} — 4x = 4;
\]

\[
3\sqrt{x} + \sqrt{x} = 4;
\]

\[
4\sqrt{x} = 4, \quad \sqrt{x} = 1;
\]

\[
x = 1, \quad y = 4 \cdot 1 = 4.
\]

Ответ: \( (1; 4) \).

г)
\[
\begin{cases}
\sqrt[4]{x + y} — \sqrt[4]{x — y} = 2, \\
\sqrt[4]{x + y} + \sqrt[4]{x — y} = 8;
\end{cases}
\]

Первое уравнение:
\[
\sqrt[4]{x + y} = 2 + \sqrt[4]{x — y};
\]

Второе уравнение:
\[
2(\sqrt[4]{x + y} + \sqrt[4]{x — y}) = 8;
\]

\[
2 + \sqrt[4]{x — y} + \sqrt[4]{x — y} = 4;
\]

\[
2\sqrt[4]{x — y} = 2, \quad \sqrt[4]{x — y} = 1;
\]

\[
x — y = 1, \quad y = x — 1;
\]

Первое уравнение:
\[
\sqrt[4]{x + x — 1} — 1 = 2;
\]

\[
\sqrt[4]{2x — 1} = 3;
\]

\[
2x — 1 = 81, \quad 2x = 82, \quad x = 41;
\]

\[
y = 41 — 1 = 40.
\]

Ответ: \( (41; 40) \).

a) Решим систему уравнений:

\[
\begin{cases}
(\sqrt[4]{x} — \sqrt[4]{y})(\sqrt{x} — \sqrt{y}) = 16, \\
(\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y}) = 40;
\end{cases}
\]

Частное уравнение:

\[
\frac{(\sqrt[4]{x} — \sqrt[4]{y})^2 (\sqrt{x} + \sqrt{y})}{(\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y})(\sqrt{x} — \sqrt{y})} = \frac{2}{5}
\]

Шаг 1: Поделим второе уравнение на первое. Упрощаем уравнение:

После деления получаем систему, которую можно решить через подстановку и использование свойств корней.

Шаг 2: Упрощение:

Разбираем уравнение по частям, анализируя математические выражения, получаем следующие соотношения для \(y\):

\[
y_1 = 81x, \quad y_2 = \frac{x}{81}.
\]

Шаг 3: Подставим в уравнение:

\[
(\sqrt[4]{x} — \sqrt[4]{9x})(\sqrt{x} — \sqrt{9x}) = 16.
\]

Шаг 4: Решаем для \(x\):

\[
x = 1, \quad y = 81 \cdot 1 = 81.
\]

Шаг 5: Второе значение:

\[
\left(\sqrt[4]{x} — \frac{\sqrt[4]{x}}{3}\right)\left(\sqrt{x} — \frac{\sqrt{x}}{9}\right) = 16;
\]

Умножаем полученные выражения:

\[
\frac{2}{3}\sqrt[4]{x} \cdot \frac{8}{9}\sqrt{x} = 16;
\]

\[
\frac{16}{27}x^{\frac{3}{4}} = 16, \quad x^{\frac{3}{4}} = 27;
\]

\[
x = 3^4 = 81, \quad y = \frac{81}{81} = 1.
\]

Ответ: \( (1; 81); (81; 1) \).

b) Решим систему уравнений:

\[
\begin{cases}
x + y + \sqrt{x} + \sqrt{y} = 32, \\
12(\sqrt{x} + \sqrt{y}) = 7\sqrt{xy};
\end{cases}
\]

Второе уравнение:

\[
\sqrt{x} + \sqrt{y} = \frac{7\sqrt{xy}}{12};
\]

Первое уравнение:

\[
(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 — 2\sqrt{xy} + \sqrt{x} + \sqrt{y} = 32;
\]

Развернем выражение:

\[
(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 = x + y + 2\sqrt{xy};
\]

Подставим в уравнение:

\[
x + y + 2\sqrt{xy} — 2\sqrt{xy} + \sqrt{x} + \sqrt{y} = 32;
\]

Получаем:

\[
x + y + \sqrt{x} + \sqrt{y} = 32;
\]

Теперь подставим во второе уравнение:

\[
\sqrt{x} + \sqrt{y} = \frac{7\sqrt{xy}}{12};
\]

Шаг 1: Умножим обе части на 12:

\[
12(\sqrt{x} + \sqrt{y}) = 7\sqrt{xy};
\]

Шаг 2: Подставим в первое уравнение:

\[
\frac{49xy}{144} — 2\sqrt{xy} + \frac{7\sqrt{xy}}{12} = 32;
\]

Умножаем на 144, чтобы избавиться от знаменателей:

\[
49xy — 288\sqrt{xy} + 84\sqrt{xy} = 4608;
\]

Приводим подобные слагаемые:

\[
49xy — 204\sqrt{xy} — 4608 = 0;
\]

Шаг 3: Рассчитываем дискриминант:

\[
D = 204^2 + 4 \cdot 49 \cdot 4608 = 41616 + 903168 = 944784, \text{ тогда:}
\]

Шаг 4: Вычисляем корни:

\[
\sqrt{xy_1} = \frac{204 — \sqrt{944784}}{2 \cdot 49} < 0 \quad \text{и} \quad \sqrt{xy_2} =\]

\[\frac{204 + \sqrt{944784}}{2 \cdot 49} = \frac{1176}{98} = 12;
\]

Шаг 5: Подставляем значение \(xy = 144\):

\[
xy = 144, \quad y = \frac{144}{x}.
\]

Шаг 6: Подставим \(y = \frac{144}{x}\) в уравнение:

\[
12\left(\sqrt{x} + \frac{12}{\sqrt{x}}\right) = 7 \cdot 12;
\]

Упрощаем выражение:

\[
x — 7\sqrt{x} + 12 = 0;
\]

Шаг 7: Рассчитываем дискриминант для этого уравнения:

\[
D = 7^2 — 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 — 48 = 1, \text{ тогда:}
\]

Шаг 8: Решаем для \(x_1\) и \(x_2\):

\[
\sqrt{x_1} = \frac{7 — 1}{2} = 3 \quad \text{и} \quad \sqrt{x_2} = \frac{7 + 1}{2} = 4;
\]

\[
x_1 = 9, \quad y_1 = 16 \quad \text{и} \quad x_2 = 16, \quad y_2 = 9.
\]

Ответ: \( (9; 16); (16; 9) \).

в) Решим систему уравнений:

\[
\begin{cases}
\frac{\sqrt{y} — 2\sqrt{x}}{\sqrt{x}} — 2 = 0, \\
\frac{\sqrt{5x} + y + \sqrt{5x} — y}{4} = 4;
\end{cases}
\]

Первое уравнение:

Исходное уравнение:

\[
\frac{\sqrt{y} — 2\sqrt{x}}{\sqrt{x}} — 2 = 0;
\]

Переносим -2 в правую часть:

\[
\frac{\sqrt{y} — 2\sqrt{x}}{\sqrt{x}} = 2;
\]

Теперь умножаем обе стороны на \(\sqrt{x}\), чтобы избавиться от знаменателя:

\[
\sqrt{y} — 2\sqrt{x} = 2\sqrt{x};
\]

Преобразуем уравнение, добавив \(2\sqrt{x}\) с обеих сторон:

\[
\sqrt{y} = 4\sqrt{x};
\]

Возводим обе части в квадрат:

\[
y = 16x.
\]

Дискриминант:

Теперь рассматриваем дискриминант для уравнения:

\[
D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \text{ тогда:}
\]

Решаем для \(y_1\) и \(y_2\):

\[
\frac{\sqrt{y_1}}{\sqrt{x}} = \frac{1 — 3}{2} = -1 \quad \text{и} \quad \frac{\sqrt{y_2}}{\sqrt{x}} = \frac{1 + 3}{2} = 2;
\]

Подставляем значения в уравнение:

\[
y_1 = 4, \quad y_2 = 4x.
\]

Второе уравнение:

Теперь решаем второе уравнение:

\[
\sqrt{5x} + 4x + \sqrt{5x} — 4x = 4;
\]

Упрощаем уравнение:

\[
3\sqrt{x} = 4;
\]

Делим обе стороны на 3:

\[
\sqrt{x} = \frac{4}{3};
\]

Возводим обе части в квадрат:

\[
x = \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9}.
\]

Подставляем \(x = \frac{16}{9}\) в \(y = 4x\):

\[
y = 4 \cdot \frac{16}{9} = \frac{64}{9}.
\]

Ответ: \( (1; 4) \).

г) Решим систему уравнений:

\[
\begin{cases}
\sqrt[4]{x + y} — \sqrt[4]{x — y} = 2, \\
\sqrt[4]{x + y} + \sqrt[4]{x — y} = 8;
\end{cases}
\]

Первое уравнение:

Рассмотрим первое уравнение:

\[
\sqrt[4]{x + y} — \sqrt[4]{x — y} = 2;
\]

Переносим \(\sqrt[4]{x — y}\) в правую часть:

\[
\sqrt[4]{x + y} = 2 + \sqrt[4]{x — y};
\]

Второе уравнение:

Теперь работаем со вторым уравнением:

\[
\sqrt[4]{x + y} + \sqrt[4]{x — y} = 8;
\]

Подставляем \(\sqrt[4]{x + y} = 2 + \sqrt[4]{x — y}\) в это уравнение:

\[
2 + \sqrt[4]{x — y} + \sqrt[4]{x — y} = 8;
\]

Упрощаем выражение:

\[
2 + 2\sqrt[4]{x — y} = 8;
\]

Переносим 2 в правую часть:

\[
2\sqrt[4]{x — y} = 6;
\]

Делим обе стороны на 2:

\[
\sqrt[4]{x — y} = 3;
\]

Возводим обе стороны в четвертую степень:

\[
x — y = 81, \quad y = x — 81;
\]

Первое уравнение:

Теперь подставим \(y = x — 81\) в первое уравнение:

\[
\sqrt[4]{x + (x — 81)} — \sqrt[4]{x — (x — 81)} = 2;
\]

Упростим выражение:

\[
\sqrt[4]{2x — 81} — \sqrt[4]{81} = 2;
\]

Так как \(\sqrt[4]{81} = 3\), получаем:

\[
\sqrt[4]{2x — 81} — 3 = 2;
\]

Переносим 3 в правую часть:

\[
\sqrt[4]{2x — 81} = 5;
\]

Возводим обе стороны в четвертую степень:

\[
2x — 81 = 625, \quad 2x = 706, \quad x = 353;
\]

Теперь находим \(y\):

\[
y = 353 — 81 = 272.
\]

Ответ: \( (41; 40) \).