ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 1037 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите корни уравнения:

a) \( \sqrt[4]{8,5 + x} + \sqrt[4]{8,5 — x} = 3 \);

b) \( \sqrt[3]{x — 2} + \sqrt[3]{3 — x} = 1 \);

в) \( (4y^2 + 1)^{\frac{1}{2}} + (4y^2 + 1)^{\frac{1}{4}} = 12 \);

г) \( (5y^2 + 1)^{\frac{1}{2}} + (5y^2 + 1)^{\frac{1}{4}} = 6 \).

Решить уравнение:

a) \( \sqrt[4]{8,5 + x} + \sqrt[4]{8,5 — x} = 3 \);

Пусть \( a = \sqrt[4]{8,5 + x} \) и \( b = \sqrt[4]{8,5 — x} \), тогда:

\[
a^4 + b^4 = 8,5 + x + 8,5 — x = 17, \quad b = 3 — a;
\]

\[
a^4 + (3 — a)^4 = 17;
\]

\[
2a^4 — 12a^3 + 54a^2 — 108a + 64 = 0;
\]

\[
(a — 1)(a — 2)(a^2 — 3a + 16) = 0;
\]

\[
(a — 1)(a — 2) = 0, \quad a_1 = 1, \quad a_2 = 2;
\]

Первое значение:
\[
\sqrt[4]{8,5 + x} = 1;
\]

\[
8,5 + x = 1;
\]

\[
x = -7,5;
\]

Второе значение:
\[
\sqrt[4]{8,5 + x} = 2;
\]

\[
8,5 + x = 16;
\]

\[
x = 7,5;
\]

Ответ: \( -7,5; 7,5 \).

b) \( \sqrt[3]{x — 2} + \sqrt[3]{3 — x} = 1 \);

Пусть \( a = \sqrt[3]{x — 2} \) и \( b = \sqrt[3]{3 — x} \), тогда:
\[
a^3 + b^3 = x — 2 + 3 — x = 1, \quad b = 1 — a;
\]

\[
a^4 + (1 — a)^4 = 1;
\]

\[
2a^4 — 4a^3 + 6a^2 — 4a = 0;
\]

\[
2a(a^3 — 2a^2 + 3a — 2) = 0;
\]

\[
\begin{array}{c|c c c c}
& 1 & -2 & 3 & -2 \\
\hline
1 & 1 & -1 & 2 & 0 \\
\end{array}
\]

\[
a(a — 1)(a^2 — a + 2) = 0;
\]

\[
a(a — 1) = 0, \quad a = 0, \quad a = 1;
\]

Первое значение:
\[
\sqrt[3]{x — 2} = 0;
\]

\[
x — 2 = 0;
\]

\[
x = 2;
\]

Второе значение:
\[
\sqrt[3]{x — 2} = 1;
\]

\[
x — 2 = 1;
\]

\[
x = 3;
\]

Ответ: \( 2; 3 \).

в) \( (4y^2 + 1)^{\frac{1}{2}} + (4y^2 + 1)^{\frac{1}{4}} = 12 \);

Пусть \( x = (4y^2 + 1)^{\frac{1}{4}} \), тогда:
\[
x^2 + x — 12 = 0;
\]

\[
D = 1^2 + 4 \cdot 12 = 1 + 48 = 49;
\]

\[
x_1 = \frac{-1 — 7}{2} = -4 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 3;
\]

Первое значение:
\[
(4y^2 + 1)^{\frac{1}{4}} = -4;
\]

Второе значение:
\[
(4y^2 + 1)^{\frac{1}{4}} = 3;
\]

\[
4y^2 + 1 = 81;
\]

\[
4y^2 = 80;
\]

\[
y^2 = 20;
\]

\[
y = \pm 2\sqrt{5};
\]

Ответ: \( -2\sqrt{5}; 2\sqrt{5} \).

г) \( (5y^2 + 1)^{\frac{1}{2}} + (5y^2 + 1)^{\frac{1}{4}} = 6 \);

Пусть \( x = (5y^2 + 1)^{\frac{1}{4}} \), тогда:

\[
x^2 + x — 6 = 0;
\]

\[
D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25;
\]

\[
x_1 = \frac{-1 — 5}{2} = -3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2;
\]

Первое значение:
\[
(5y^2 + 1)^{\frac{1}{4}} = -3;
\]

Второе значение:
\[
(5y^2 + 1)^{\frac{1}{4}} = 2;
\]

\[
5y^2 + 1 = 16;
\]

\[
5y^2 = 15;
\]

\[
y^2 = 3;
\]

\[
y = \pm \sqrt{3};
\]

Ответ: \( -\sqrt{3}; \sqrt{3} \).

a) Решить уравнение:

Исходное уравнение:

\( \sqrt[4]{8,5 + x} + \sqrt[4]{8,5 — x} = 3 \);

Шаг 1: Пусть \( a = \sqrt[4]{8,5 + x} \) и \( b = \sqrt[4]{8,5 — x} \), тогда:

\( a^4 + b^4 = 8,5 + x + 8,5 — x = 17, \quad b = 3 — a; \)

Шаг 2: Подставим \( b = 3 — a \) в уравнение:

\( a^4 + (3 — a)^4 = 17; \)

Шаг 3: Раскрываем скобки:

\( a^4 + (3 — a)^4 = 2a^4 — 12a^3 + 54a^2 — 108a + 64 = 0; \)

Шаг 4: Решаем полученное уравнение с использованием таблицы или других методов для нахождения корней:

Шаг 5: Получаем корни:

\( (a — 1)(a — 2)(a^2 — 3a + 16) = 0; \)

Шаг 6: Из этого уравнения получаем:

\( a — 1 = 0, \quad a_1 = 1 \quad \text{и} \quad a — 2 = 0, \quad a_2 = 2; \)

Шаг 7: Теперь подставим эти значения для \(a\):

Для \(a_1 = 1\):

\( \sqrt[4]{8,5 + x} = 1, \quad 8,5 + x = 1, \quad x = -7,5; \)

Для \(a_2 = 2\):

\( \sqrt[4]{8,5 + x} = 2, \quad 8,5 + x = 16, \quad x = 7,5; \)

Ответ: \( x = -7,5; 7,5 \).

b) Решить уравнение:

Исходное уравнение:

\( \sqrt[3]{x — 2} + \sqrt[3]{3 — x} = 1 \);

Шаг 1: Пусть \( a = \sqrt[3]{x — 2} \) и \( b = \sqrt[3]{3 — x} \), тогда:

\( a^3 + b^3 = x — 2 + 3 — x = 1, \quad b = 1 — a; \)

Шаг 2: Подставляем \( b = 1 — a \) в уравнение:

\( a^4 + (1 — a)^4 = 1; \)

Шаг 3: Упрощаем уравнение:

\( 2a^4 — 4a^3 + 6a^2 — 4a = 0; \)

Шаг 4: Факторизуем уравнение:

\( 2a(a^3 — 2a^2 + 3a — 2) = 0; \)

Шаг 5: Решаем кубическое уравнение с использованием таблицы или другого метода:

Шаг 6: Получаем корни:

\( a(a — 1)(a^2 — a + 2) = 0; \)

Шаг 7: Получаем значения для \(a\):

\( a = 0, \quad a = 1; \)

Для \( a = 0 \):

\( \sqrt[3]{x — 2} = 0, \quad x — 2 = 0, \quad x = 2; \)

Для \( a = 1 \):

\( \sqrt[3]{x — 2} = 1, \quad x — 2 = 1, \quad x = 3; \)

Ответ: \( x = 2; 3 \).

в) Решить уравнение:

Исходное уравнение:

\( (4y^2 + 1)^{\frac{1}{2}} + (4y^2 + 1)^{\frac{1}{4}} = 12 \);

Шаг 1: Пусть \( x = (4y^2 + 1)^{\frac{1}{4}} \), тогда:

\( x^2 + x — 12 = 0; \)

Шаг 2: Решаем квадратное уравнение:

\( D = 1^2 + 4 \cdot 12 = 1 + 48 = 49; \)

Шаг 3: Находим корни:

\( x_1 = \frac{-1 — 7}{2} = -4 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 3; \)

Шаг 4: Проверяем значения для \( x \):

Для \( x = -4 \):

\( (4y^2 + 1)^{\frac{1}{4}} = -4 \), что невозможно, так как значение подкоренного выражения всегда неотрицательно.

Для \( x = 3 \):

\( (4y^2 + 1)^{\frac{1}{4}} = 3, \quad 4y^2 + 1 = 81, \quad 4y^2 = 80, \quad y^2 = 20, \quad y = \pm 2\sqrt{5}; \)

Ответ: \( y = -2\sqrt{5}; 2\sqrt{5} \).

г) Решить уравнение:

Исходное уравнение:

\( (5y^2 + 1)^{\frac{1}{2}} + (5y^2 + 1)^{\frac{1}{4}} = 6 \);

Шаг 1: Пусть \( x = (5y^2 + 1)^{\frac{1}{4}} \), тогда:

\( x^2 + x — 6 = 0; \)

Шаг 2: Решаем квадратное уравнение:

\( D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25; \)

Шаг 3: Находим корни:

\( x_1 = \frac{-1 — 5}{2} = -3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2; \)

Шаг 4: Проверяем значения для \( x \):

Для \( x = -3 \):

\( (5y^2 + 1)^{\frac{1}{4}} = -3 \), что невозможно.

Для \( x = 2 \):

\( (5y^2 + 1)^{\frac{1}{4}} = 2, \quad 5y^2 + 1 = 16, \quad 5y^2 = 15, \quad y^2 = 3, \quad y = \pm \sqrt{3}; \)

Ответ: \( y = -\sqrt{3}; \sqrt{3} \).