ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 1036 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите уравнение:

a) \( \sqrt{2 — x\sqrt{3}} + \sqrt{2 + x\sqrt{3}} = 2 \);

b) \( \sqrt{1 + x^2} = 2\sqrt{x(1 — x)} \);

в) \( 1 — x^2 — (1 — x^4)^{\frac{1}{2}} = 0 \);

г) \( (3x^2 — 2)^{\frac{1}{2}} = 2x — 1 \).

Решить уравнение:

a)
\[
\sqrt{2 — x\sqrt{3}} + \sqrt{2 + x\sqrt{3}} = 2;
\]

\[
2 — x\sqrt{3} + 2\sqrt{4 — 3x^2} + 2 + x\sqrt{3} = 4;
\]

\[
2\sqrt{4 — 3x^2} = 0, \quad 4 — 3x^2 = 0, \quad x^2 = \frac{4}{3};
\]

\[
x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3};
\]

Ответ: \( -\frac{2\sqrt{3}}{3}; \frac{2\sqrt{3}}{3} \).

b)

\[
\sqrt{1 + x^2} = 2\sqrt{x(1 — x)};
\]

\[
1 + x^2 = 4x(1 — x);
\]

\[
1 + x^2 = 4x — 4x^2;
\]

\[
5x^2 — 4x + 1 = 0;
\]

\[
D = 4^2 — 4 \cdot 5 = -4;
\]

Ответ: ∅.

в)
\[
1 — x^2 — (1 — x^4)^{\frac{1}{2}} = 0;
\]

\[
(1 — x^2)^{\frac{1}{2}} \cdot (1 — x^2 — 1 — x^2)^{\frac{1}{2}} = 0;
\]

\[
(1 — x^2)^{\frac{1}{2}} \cdot (-2x^2)^{\frac{1}{2}} = 0;
\]

\[
1 — x^2 = 0, \quad x^2 = 1, \quad x = \pm 1;
\]

\[
-2x^2 = 0, \quad x^2 = 0, \quad x = 0;
\]

Ответ: \( -1; 0; 1 \).

г)

\[
(3x^2 — 2)^{\frac{1}{2}} = 2x — 1;
\]

\[
3x^2 — 2 = 4x^2 — 4x + 1;
\]

\[
x^2 — 4x + 3 = 0;
\]

\[
D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4;
\]

\[
x_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3;
\]

Ответ: \( 1; 3 \).

а) Решить уравнение:

Исходное уравнение:

\[
\sqrt{2 — x\sqrt{3}} + \sqrt{2 + x\sqrt{3}} = 2;
\]

Шаг 1: Возведем обе части уравнения в квадрат:

\[
\left( \sqrt{2 — x\sqrt{3}} + \sqrt{2 + x\sqrt{3}} \right)^2 = 2^2;
\]

Раскроем квадрат левой части:

\[
\left( \sqrt{2 — x\sqrt{3}} \right)^2 + 2 \cdot \sqrt{2 — x\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2 + x\sqrt{3}} + \left( \sqrt{2 + x\sqrt{3}} \right)^2 = 4;
\]

Получаем:

\[
(2 — x\sqrt{3}) + 2 \sqrt{(2 — x\sqrt{3})(2 + x\sqrt{3})} + (2 + x\sqrt{3}) = 4;
\]

Шаг 2: Упрощаем выражение:

Складываем \(2\) и \(2\):

\[
4 + 2 \sqrt{(2 — x\sqrt{3})(2 + x\sqrt{3})} = 4;
\]

Теперь упростим подкоренное выражение. Это выражение можно раскрыть по формуле разности квадратов:

\[
(2 — x\sqrt{3})(2 + x\sqrt{3}) = 2^2 — (x\sqrt{3})^2 = 4 — 3x^2.
\]

Теперь у нас есть:

\[
4 + 2 \sqrt{4 — 3x^2} = 4;
\]

Шаг 3: Убираем 4 с обеих сторон:

\[
2 \sqrt{4 — 3x^2} = 0;
\]

Делим обе части на 2:

\[
\sqrt{4 — 3x^2} = 0;
\]

Шаг 4: Возводим обе части в квадрат:

\[
4 — 3x^2 = 0;
\]

Шаг 5: Решаем полученное уравнение:

\[
3x^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad x^2 = \frac{4}{3};
\]

Шаг 6: Извлекаем квадратный корень:

\[
x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}.
\]

Ответ: \( x = -\frac{2\sqrt{3}}{3}; \frac{2\sqrt{3}}{3} \).

б) Решить уравнение:

Исходное уравнение:

\[
\sqrt{1 + x^2} = 2\sqrt{x(1 — x)};
\]

Шаг 1: Возводим обе части в квадрат:

\[
\left( \sqrt{1 + x^2} \right)^2 = \left( 2\sqrt{x(1 — x)} \right)^2;
\]

Получаем:

\[
1 + x^2 = 4x(1 — x);
\]

Шаг 2: Раскрываем скобки на правой стороне:

\[
1 + x^2 = 4x — 4x^2;
\]

Шаг 3: Переносим все члены на одну сторону:

\[
1 + x^2 + 4x^2 — 4x = 0;
\]

Упрощаем:

\[
5x^2 — 4x + 1 = 0.
\]

Шаг 4: Находим дискриминант:

\[
D = (-4)^2 — 4 \cdot 5 \cdot 1 = 16 — 20 = -4;
\]

Шаг 5: Так как \( D < 0 \), уравнение не имеет решений.

Ответ: ∅.

в) Решить уравнение:

Исходное уравнение:

\[
1 — x^2 — (1 — x^4)^{\frac{1}{2}} = 0;
\]

Шаг 1: Преобразуем уравнение:

\[
(1 — x^2)^{\frac{1}{2}} \cdot (1 — x^2 — 1 — x^2)^{\frac{1}{2}} = 0;
\]

Это выражение можно упростить следующим образом:

\[
(1 — x^2)^{\frac{1}{2}} \cdot (-2x^2)^{\frac{1}{2}} = 0;
\]

Шаг 2: Упрощаем выражение для второй части:

Здесь подкоренное выражение \( -2x^2 \) означает, что решение существует только для \( x = 0 \). Таким образом, необходимо рассматривать два случая:

Случай 1: \( 1 — x^2 = 0 \).

Это приводит к:

\[
x^2 = 1, \quad x = \pm 1.
\]

Случай 2: \( -2x^2 = 0 \).

Это приводит к:

\[
x = 0.
\]

Ответ: \( x = -1; 0; 1 \).

г) Решить уравнение:

Исходное уравнение:

\[
(3x^2 — 2)^{\frac{1}{2}} = 2x — 1;
\]

Шаг 1: Возводим обе части уравнения в квадрат:

\[
\left( (3x^2 — 2)^{\frac{1}{2}} \right)^2 = (2x — 1)^2;
\]

Получаем:

\[
3x^2 — 2 = 4x^2 — 4x + 1;
\]

Шаг 2: Переносим все члены на одну сторону:

\[
3x^2 — 2 — 4x^2 + 4x — 1 = 0;
\]

Упрощаем:

\[
-x^2 + 4x — 3 = 0;
\]

Шаг 3: Решаем квадратное уравнение:

\[
x^2 — 4x + 3 = 0;
\]

Шаг 4: Находим дискриминант:

\[
D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4;
\]

Шаг 5: Находим корни:

\[
x_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3;
\]

Ответ: \( x = 1; 3 \).