ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 1035 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что верно равенство:

a)
\[
\left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^2 — \left( \frac{1 — \sqrt{5}}{2} \right)^2 = \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^3 — \left( \frac{1 — \sqrt{5}}{2} \right)^3;
\]

b)
\[
\sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 — 14\sqrt{2}} = 4;
\]

в)
\[
\left( \frac{2 + \sqrt{3}}{\sqrt{2 + \sqrt{3}}} + \frac{2 — \sqrt{3}}{\sqrt{2 — \sqrt{3}}} \right)^2 = 2.
\]

Доказать равенство:

a)
\[
\left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^2 — \left( \frac{1 — \sqrt{5}}{2} \right)^2 = \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^3 — \left( \frac{1 — \sqrt{5}}{2} \right)^3;
\]

\[
\left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^2 \cdot \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} — 1 \right) — \left( \frac{1 — \sqrt{5}}{2} \right)^2 \cdot \left( \frac{1 — \sqrt{5}}{2} — 1 \right) = 0;
\]

\[
\frac{1 — \sqrt{5}}{2} \cdot \frac{1 + \sqrt{5}}{2} — \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \cdot \frac{1 — \sqrt{5}}{2} = 0;
\]

\[
\frac{1 — 5}{4} \cdot \frac{-2\sqrt{5}}{2} = 0, \quad \sqrt{5} = 0;
\]

Равенство не выполняется.

b)
\[
\sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 — 14\sqrt{2}} = 4;
\]

Пусть \( a = \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} \) и \( b = \sqrt[3]{20 — 14\sqrt{2}} \), тогда:

\[
a^3 + b^3 = 20 + 14\sqrt{2} + 20 — 14\sqrt{2} = 40;
\]

\[
a \cdot b = \sqrt[3]{(20 + 14\sqrt{2})(20 — 14\sqrt{2})} = \sqrt[3]{400 — 392} = \sqrt[3]{8} = 2;
\]

\[
(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3;
\]

\[
(a + b)^3 = 40 + 3ab(a + b) = 40 + 6(a + b);
\]

\[
4^3 = 64, \quad 40 + 6 \cdot 4 = 40 + 24 = 64;
\]

Что и требовалось доказать.

в)
\[
\left( \frac{2 + \sqrt{3}}{\sqrt{2 + \sqrt{3}}} + \frac{2 — \sqrt{3}}{\sqrt{2 — \sqrt{3}}} \right)^2 = 2;
\]

Пусть \( a = \sqrt{2 + \sqrt{3}} \) и \( b = \sqrt{2 — \sqrt{3}} \), тогда:

\[
a^2 + b^2 = 2 + \sqrt{3} + 2 — \sqrt{3} = 4;
\]

\[
a \cdot b = \sqrt{(2 + \sqrt{3})(2 — \sqrt{3})} = \sqrt{4 — 3} = \sqrt{1} = 1;
\]

\[
(a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2;
\]

\[
(a — b)^2 = 4 — 2 = 2, \quad a — b = \sqrt{2};
\]

\[
\left( \frac{a^2}{\sqrt{2} + a} + \frac{b^2}{\sqrt{2} — b} \right)^2 = \left( \frac{a^2 \sqrt{2} — a^2 b + b^2 \sqrt{2} + b^2 a}{(\sqrt{2} + a)(\sqrt{2} — b)} \right)^2 =
\]

\[
= \left( \frac{4\sqrt{2} — a b \sqrt{2} + b a \sqrt{2} — a b}{1 + \sqrt{2}(a — b)} \right)^2 =
\]

\[
= \left( \frac{4\sqrt{2} — \sqrt{2}}{1 + \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} \right)^2 = \left( \frac{3\sqrt{2}}{3} \right)^2 = (\sqrt{2})^2 = 2;
\]

Что и требовалось доказать.

а) Доказать равенство:

Исходное выражение:

\[
\left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^2 — \left( \frac{1 — \sqrt{5}}{2} \right)^2 = \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^3 — \left( \frac{1 — \sqrt{5}}{2} \right)^3;
\]

Шаг 1: Применение формулы разности квадратов.

Используем формулу разности квадратов для левой части выражения:

\[
\left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^2 — \left( \frac{1 — \sqrt{5}}{2} \right)^2 =\]

\[\left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} — \frac{1 — \sqrt{5}}{2} \right) \cdot \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} + \frac{1 — \sqrt{5}}{2} \right).
\]

Шаг 2: Упрощение.

Теперь упростим обе части:

\[
\left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} — \frac{1 — \sqrt{5}}{2} \right) = \sqrt{5}, \quad \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} + \frac{1 — \sqrt{5}}{2} \right) = 1.
\]

Тогда левая часть выражения будет равна:

\[
\sqrt{5} \cdot 1 = \sqrt{5}.
\]

Шаг 3: Применение формулы разности кубов.

Теперь рассмотрим правую часть выражения. Используем формулу разности кубов:

\[
\left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^3 — \left( \frac{1 — \sqrt{5}}{2} \right)^3 \]

Шаг 4: Упрощение правой части.

После упрощения получаем:

\[
\sqrt{5} \cdot \left( 1 + \sqrt{5} \right) = \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 5.
\]

Шаг 5: Равенство не выполняется.

Таким образом, мы получаем противоречие, так как:

\[
\sqrt{5} \neq 5.
\]

Ответ: Равенство не выполняется.

б) Доказать равенство:

Исходное выражение:

\[
\sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 — 14\sqrt{2}} = 4;
\]

Шаг 1: Пусть \( a = \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} \) и \( b = \sqrt[3]{20 — 14\sqrt{2}} \).

Тогда, суммируя кубы, получаем:

\[
a^3 + b^3 = 20 + 14\sqrt{2} + 20 — 14\sqrt{2} = 40.
\]

Шаг 2: Найдем произведение \( ab \).

Используем формулу для произведения кубов:

\[
a \cdot b = \sqrt[3]{(20 + 14\sqrt{2})(20 — 14\sqrt{2})} = \sqrt[3]{400 — 392} = \sqrt[3]{8} = 2.
\]

Шаг 3: Применяем формулу для суммы кубов.

Теперь, используя формулу для суммы кубов, получаем:

\[
(a + b)^3 = a^3 + 3ab(a + b) + b^3.
\]

Подставим значения:

\[
(a + b)^3 = 40 + 3ab(a + b) = 40 + 6(a + b).
\]

Шаг 4: Решение для \( a + b \).

Мы знаем, что \( a + b = 4 \), так как:

\[
4^3 = 64, \quad 40 + 6 \cdot 4 = 40 + 24 = 64.
\]

Ответ: \( a + b = 64 \).

в) Доказать равенство:

Исходное выражение:

\[
\left( \frac{2 + \sqrt{3}}{\sqrt{2 + \sqrt{3}}} + \frac{2 — \sqrt{3}}{\sqrt{2 — \sqrt{3}}} \right)^2 = 2;
\]

Шаг 1: Пусть \( a = \sqrt{2 + \sqrt{3}} \) и \( b = \sqrt{2 — \sqrt{3}} \).

Тогда, суммируя квадраты, получаем:

\[
a^2 + b^2 = 2 + \sqrt{3} + 2 — \sqrt{3} = 4.
\]

Шаг 2: Найдем произведение \( ab \).

Теперь вычислим произведение:

\[
a \cdot b = \sqrt{(2 + \sqrt{3})(2 — \sqrt{3})} = \sqrt{4 — 3} = \sqrt{1} = 1.
\]

Шаг 3: Найдем \( (a — b)^2 \).

Используем формулу для квадрата разности:

\[
(a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2.
\]

Подставляем значения:

\[
(a — b)^2 = 4 — 2 = 2, \quad a — b = \sqrt{2}.
\]

Шаг 4: Завершающее упрощение.

Теперь завершим упрощение:

\[
\left( \frac{a^2}{\sqrt{2} + a} + \frac{b^2}{\sqrt{2} — b} \right)^2 = \left( \frac{a^2 \sqrt{2} — a^2 b + b^2 \sqrt{2} + b^2 a}{(\sqrt{2} + a)(\sqrt{2} — b)} \right)^2.
\]

Далее, упрощаем выражение:

\[
= \left( \frac{4\sqrt{2} — a b \sqrt{2} + b a \sqrt{2} — a b}{1 + \sqrt{2}(a — b)} \right)^2.
\]

Теперь, упрощаем окончательно:

\[
= \left( \frac{3\sqrt{2}}{3} \right)^2 = (\sqrt{2})^2 = 2.
\]

Ответ: 2.