ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 1034 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Упростите выражение:

a) \( \sqrt{a + 4\sqrt{a — 4}} + \sqrt{a — 4\sqrt{a — 4}} \), рассмотрев случаи, когда \( 4 \leq a < 8 \) и когда \( a \geq 8 \);

b) \( \left(1 + \frac{1}{x}\right)^2 + \left(1 — \frac{1}{x}\right)^{-2} \), если \( x = \left(1 — \frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{2}} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{2}} \) и \( n > 1 \).

Упростить выражение:

a)
\[
\sqrt{a + 4\sqrt{a — 4}} + \sqrt{a — 4\sqrt{a — 4}} = x;
\]

\[
a + 4\sqrt{a — 4} + 2\sqrt{a^2 — 16(a — 4)} + a — 4\sqrt{a — 4} = x^2;
\]

\[
2a + 2\sqrt{a^2 — 16(a — 4)} = x^2, \quad 2a + 2 \cdot |a — 8| = x^2;
\]

Если \( 4 \leq a < 8 \), тогда:
\[
x^2 = 2a + 16 — 2a; \quad x^2 = 16, \quad x = 4;
\]

Если \( a \geq 8 \), тогда:
\[
x^2 = 2a + 2a — 16; \quad x^2 = 4(a — 4); \quad x = 2\sqrt{a — 4};
\]

Ответ: \( 4; \, 2\sqrt{a — 4} \).

b)
\[
\left(1 + \frac{1}{x}\right)^2 + \left(1 — \frac{1}{x}\right)^{-2} = \left(\frac{x + 1}{x}\right)^2 + \left(\frac{x}{x — 1}\right)^2 =
\]

\[
= \frac{x^2}{x^2 + 2x + 1} + \frac{x^2}{x^2 — 2x + 1} = \frac{x^2 \cdot (2x^2 + 2)}{(x^2 + 1)^2 — 4x^2} =
\]

\[
= \frac{2x^2 \cdot (x^2 + 1)}{x^4 + 2x^2 + 1 — 4x^2} = \frac{2x^2 \cdot (x^2 + 1)}{(x^2 — 1)^2} = y;
\]

Если \( x = \left(1 — \frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{2}} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{2}} \), тогда:

\[
y = \frac{2 \cdot \frac{n^2 — 1}{n^2} \cdot \left(\frac{n^2 — 1}{n^2} + 1\right)}{\left(\frac{n^2 — 1}{n^2} — 1\right)^2} = \frac{\frac{2(n^4 — 4n^2 + 2) + 2n^2 — 2}{n^2}}{\frac{n^4 — 2n^2 + 1 — n^2}{n^2}} =
\]

\[
= \frac{2n^4 — 4n^2 + 2 + 2n^2 — 2}{n^4 — 2n^2 + 1 — n^2} = \frac{2n^4 — 2n^2}{n^4 — 3n^2 + 1} = 4n^4 — 6n^2 + 2;
\]

Ответ: \( 4n^4 — 6n^2 + 2 \).

а) Упростим выражение:

Исходное выражение:

\[
\sqrt{a + 4\sqrt{a — 4}} + \sqrt{a — 4\sqrt{a — 4}} = x;
\]

Шаг 1: Преобразуем выражение.

Для упрощения, начнем с того, что выразим \( x^2 \), возведя обе стороны в квадрат:

\[
a + 4\sqrt{a — 4} + 2\sqrt{a^2 — 16(a — 4)} + a — 4\sqrt{a — 4} = x^2;
\]

Шаг 2: Упростим выражение.

Мы видим, что выражение \( 4\sqrt{a — 4} \) и \(-4\sqrt{a — 4}\) сокращаются. Таким образом, остаётся:

\[
2a + 2\sqrt{a^2 — 16(a — 4)} = x^2;
\]

Шаг 3: Дальнейшее упрощение.

Теперь раскроем выражение внутри радикала:

\[
a^2 — 16(a — 4) = a^2 — 16a + 64;
\]

Таким образом, выражение для \( x^2 \) становится:

\[
2a + 2\sqrt{a^2 — 16a + 64} = x^2;
\]

Шаг 4: Упрощаем выражение для \( x^2 \).

Теперь, для разных значений \( a \), рассмотрим два случая:

Случай 1: Если \( 4 \leq a < 8 \):

В этом случае, \( \sqrt{a^2 — 16a + 64} = 4 \), и подставляем это в выражение для \( x^2 \):

\[
x^2 = 2a + 16 — 2a = 16;
\]

Ответ: \( x = 4 \).

Случай 2: Если \( a \geq 8 \):

Здесь, выражение для \( x^2 \) становится:

\[
x^2 = 2a + 2a — 16 = 4(a — 4);
\]

Таким образом, для \( a \geq 8 \), мы получаем:

\[
x = 2\sqrt{a — 4}.
\]

Ответ: \( 4 \text{ или } 2\sqrt{a — 4} \).

б) Упростим выражение:

Исходное выражение:

\[
\left(1 + \frac{1}{x}\right)^2 + \left(1 — \frac{1}{x}\right)^{-2} = \left(\frac{x + 1}{x}\right)^2 + \left(\frac{x}{x — 1}\right)^2;
\]

Шаг 1: Упрощение первой дроби.

Перепишем первую дробь:

\[
\left(\frac{x + 1}{x}\right)^2 = \frac{(x + 1)^2}{x^2}.
\]

Шаг 2: Упрощение второй дроби.

Теперь упростим вторую дробь:

\[
\left(\frac{x}{x — 1}\right)^2 = \frac{x^2}{(x — 1)^2}.
\]

Шаг 3: Приведение к общему знаменателю.

Теперь сложим дроби, приведем их к общему знаменателю:

\[
= \frac{x^2}{x^2 + 2x + 1} + \frac{x^2}{x^2 — 2x + 1}.
\]

Шаг 4: Приведение выражения к общему знаменателю.

Теперь, чтобы сложить дроби, нужно привести их к общему знаменателю:

\[
= \frac{x^2 \cdot (2x^2 + 2)}{(x^2 + 1)^2 — 4x^2}.
\]

Шаг 5: Упрощение.

Выполнив операции, получаем:

\[
= \frac{2x^2 \cdot (x^2 + 1)}{x^4 + 2x^2 + 1 — 4x^2} = \frac{2x^2 \cdot (x^2 + 1)}{(x^2 — 1)^2} = y.
\]

Шаг 6: Упростим выражение для \( y \).

Теперь подставим значение \( x = \left(1 — \frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{2}} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{2}} \):

\[
y = \frac{2 \cdot \frac{n^2 — 1}{n^2} \cdot \left(\frac{n^2 — 1}{n^2} + 1\right)}{\left(\frac{n^2 — 1}{n^2} — 1\right)^2} = \frac{\frac{2(n^4 — 4n^2 + 2) + 2n^2 — 2}{n^2}}{\frac{n^4 — 2n^2 + 1 — n^2}{n^2}}.
\]

Шаг 7: Упрощение окончательного выражения:

\[
= \frac{2n^4 — 4n^2 + 2 + 2n^2 — 2}{n^4 — 2n^2 + 1 — n^2} = \frac{2n^4 — 2n^2}{n^4 — 3n^2 + 1} = 4n^4 — 6n^2 + 2;
\]

Ответ: \( 4n^4 — 6n^2 + 2 \).