ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 1032 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Упростите выражение:

a)
\[
\frac{a^2 — b^2}{\frac{1}{a^4} — \frac{1}{b^4}} — \left( \frac{\left( a + (ab)^{\frac{3}{4}} \right)^{\frac{1}{4}} — \left( ab^4 \right)^{\frac{1}{4}}}{\left( a^4 — (ab)^4 \right)} \right) \cdot \left( a^{\frac{1}{4}} — b^{\frac{1}{4}} \right)^{-1};
\]

б)
\[
\frac{\left( \left( x^{\frac{3}{4}} + a^2 x^{\frac{1}{4}} \right) \left( x^{\frac{1}{2}} + a^2 \right)^{-1} \right)^2 + x + 3}{x^{\frac{1}{2}} + 3}.
\]

Упростить выражение:

a)
\[
\frac{a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{4}} — b^{\frac{1}{4}}} — \left( \frac{\left( a + (ab)^{\frac{1}{4}} \right)^{\frac{1}{4}} — \left( ab^4 \right)^{\frac{1}{4}}}{\left( a^4 — (ab)^4 \right)} \right) \cdot \left( a^{\frac{1}{4}} — b^{\frac{1}{4}} \right)^{-1} =
\]

\[
= \frac{\left( a^{\frac{1}{4}} — b^{\frac{1}{4}} \right) \left( a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}} \right)}{a^{\frac{1}{4}} — b^{\frac{1}{4}}} — \frac{a + a^{\frac{3}{4}}b^{\frac{1}{4}} — a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{3}{4}} — a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}}{\left( a^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{4}} \right) \left( a^{\frac{1}{4}} — b^{\frac{1}{4}} \right)} =
\]

\[
= a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}} — \frac{a^{\frac{1}{2}} \left( a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}} \right) — a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{4}} \left( a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}} \right)}{a^{\frac{1}{4}} \left( a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}} \right) \left( a^{\frac{1}{4}} — b^{\frac{1}{4}} \right)} =
\]

\[
= a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}} — a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}} = 2b^{\frac{1}{4}};
\]

б)
\[
\frac{\left( \left( x^{\frac{3}{4}} + a^2 x^{\frac{1}{4}} \right) \left( x^{\frac{1}{2}} + a^2 \right)^{-1} \right)^2 + x + 3}{x^{\frac{1}{2}} + 3} =
\]

\[
= \frac{\left( x^{\frac{1}{4}} \left( x^{\frac{1}{2}} + a^2 \right) \cdot \left( x^{\frac{1}{2}} + a^2 \right)^{-1} \right)^2 + x + 3}{x^{\frac{1}{2}} + 3} =
\]

\[
= \frac{\left( x^{\frac{1}{4}} \right)^2 + x + 3}{x^{\frac{1}{2}} + 3}\]

\[
= \frac{x^{\frac{1}{2}} + x + 3}{x^{\frac{1}{2}} + 3};
\]

а) Упростим выражение:

Исходное выражение:

\[
\frac{a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{4}} — b^{\frac{1}{4}}} — \left( \frac{\left( a + (ab)^{\frac{1}{4}} \right)^{\frac{1}{4}} — \left( ab^4 \right)^{\frac{1}{4}}}{\left( a^4 — (ab)^4 \right)} \right) \cdot \left( a^{\frac{1}{4}} — b^{\frac{1}{4}} \right)^{-1} =
\]

Шаг 1: Упрощение первой дроби.

Первая часть выражения имеет вид \(\frac{a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{4}} — b^{\frac{1}{4}}}\). Чтобы упростить это выражение, воспользуемся формулой разности квадратов, так как в числителе и знаменателе присутствуют степени, которые можно преобразовать. Мы можем умножить и числитель, и знаменатель на \((a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}})\). Таким образом, мы получаем:

\[
= \frac{\left( a^{\frac{1}{4}} — b^{\frac{1}{4}} \right) \left( a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}} \right)}{a^{\frac{1}{4}} — b^{\frac{1}{4}}}.
\]

Мы видим, что \(\left( a^{\frac{1}{4}} — b^{\frac{1}{4}} \right)\) в числителе и знаменателе сокращаются, и остаётся:

\[
= a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}}.
\]

Шаг 2: Упрощение второй дроби.

Теперь рассмотрим вторую часть выражения. У нас есть дробь следующего вида:

\[
\frac{\left( a + (ab)^{\frac{1}{4}} \right)^{\frac{1}{4}} — \left( ab^4 \right)^{\frac{1}{4}}}{\left( a^4 — (ab)^4 \right)}.
\]

Для начала упростим выражение в числителе. В первой части числителя мы видим \( \left( a + (ab)^{\frac{1}{4}} \right)^{\frac{1}{4}} \). Применив свойства степеней и корней, это выражение можно оставить без изменений.

Во второй части числителя \(\left( ab^4 \right)^{\frac{1}{4}}\) можно переписать как \( (a^{\frac{1}{4}} \cdot b) \), так как степень дроби распределяется по произведению.

Теперь числитель имеет вид:

\[
\left( a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}} \right) — a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{4}}.
\]

Далее, рассмотрим знаменатель \(\left( a^4 — (ab)^4 \right)\). Применив формулу разности квадратов, мы можем преобразовать этот знаменатель в следующий вид:

\[
= \left( a^2 — (ab)^2 \right) \left( a^2 + (ab)^2 \right).
\]

Таким образом, знаменатель становится более сложным, но теперь его можно подставить в общий знаменатель.

Шаг 3: Упрощение окончательной дроби.

Теперь у нас есть общая дробь:

\[
= a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}} — \frac{a^{\frac{1}{2}} \left( a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}} \right) — a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{4}} \left( a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}} \right)}{a^{\frac{1}{4}} \left( a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}} \right) \left( a^{\frac{1}{4}} — b^{\frac{1}{4}} \right)}.
\]

Здесь можно выделить общий множитель и упростить его. Таким образом, мы получаем:

\[
= a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}} — a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}} = 2b^{\frac{1}{4}}.
\]

Ответ: \( 2b^{\frac{1}{4}} \).

б) Упростим выражение:

Исходное выражение:

\[
\frac{\left( \left( x^{\frac{3}{4}} + a^2 x^{\frac{1}{4}} \right) \left( x^{\frac{1}{2}} + a^2 \right)^{-1} \right)^2 + x + 3}{x^{\frac{1}{2}} + 3}.
\]

Шаг 1: Упрощение числителя.

Первым шагом упростим числитель. В числителе выражение \( \left( x^{\frac{3}{4}} + a^2 x^{\frac{1}{4}} \right) \left( x^{\frac{1}{2}} + a^2 \right)^{-1} \) можно представить в виде:

\[
= x^{\frac{1}{4}} \left( x^{\frac{1}{2}} + a^2 \right) \cdot \left( x^{\frac{1}{2}} + a^2 \right)^{-1}.
\]

Преобразовав это, мы получаем:

\[
= x^{\frac{1}{4}}.
\]

Теперь возводим в квадрат:

\[
\left( x^{\frac{1}{4}} \right)^2 = x^{\frac{1}{2}}.
\]

Шаг 2: Упрощение окончательной дроби.

Подставляем это в числитель, и выражение принимает вид:

\[
= \frac{x^{\frac{1}{2}} + x + 3}{x^{\frac{1}{2}} + 3}.
\]

Шаг 3: Упрощение выражения.

Сокращаем \((x^{\frac{1}{2}} + 3)\) в числителе и знаменателе:

\[
= x^{\frac{1}{2}} + 1.
\]

Ответ: \( x^{\frac{1}{2}} + 1 \). \[= \frac{x^{\frac{1}{2}} + x + 3}{x^{\frac{1}{2}} + 3};\]