ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 1031 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите область определения функции \( y = (x^2 — 1)^{\frac{1}{2}} \) и постройте её график.

Построить график функции:
\[
y = (x^2 — 1)^{\frac{1}{2}};
\]

1) Область определения:
\[
x^2 — 1 \geq 0;
\]

\[
(x + 1)(x — 1) \geq 0;
\]

\[
x \leq -1, \quad x \geq 1;
\]

2) Функция является четной:
\[
y(-x) = ((-x)^2 — 1)^{\frac{1}{2}} = y(x);
\]

3) График функции:

Построим график функции:

\( y = (x^2 — 1)^{\frac{1}{2}} \)

Шаг 1: Область определения:

Для того чтобы функция \( y = (x^2 — 1)^{\frac{1}{2}} \) была определена, подкоренное выражение \( x^2 — 1 \) должно быть неотрицательным. То есть, мы имеем неравенство:

\[
x^2 — 1 \geq 0;
\]

Решим его:

\[
x^2 \geq 1;
\]

Теперь разложим выражение на множители:

\[
(x + 1)(x — 1) \geq 0;
\]

Это неравенство выполняется при:

\[
x \leq -1 \quad \text{или} \quad x \geq 1.
\]

Таким образом, область определения функции — это \( x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty) \). То есть, функция определена только для значений \( x \) таких, что \( |x| \geq 1 \).

Шаг 2: Функция является четной:

Теперь проверим, является ли функция четной. Для этого нужно доказать, что:

\[
y(-x) = y(x);
\]

Подставим \(-x\) вместо \(x\) в исходную функцию:

\[
y(-x) = ((-x)^2 — 1)^{\frac{1}{2}} = (x^2 — 1)^{\frac{1}{2}} = y(x);
\]

Мы видим, что \( y(-x) = y(x) \), следовательно, функция является четной. Это означает, что график функции симметричен относительно оси \(y\).

Шаг 3: График функции:

График функции будет отображать значения \( y = \sqrt{x^2 — 1} \) для \( x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty) \). Для \( x = -1 \) и \( x = 1 \), значения \( y = 0 \). Для \( |x| > 1 \) функция будет расти, так как квадратный корень увеличивается с увеличением \( |x| \).

График будет иметь следующие особенности:

• Функция определена только для \( x \leq -1 \) и \( x \geq 1 \).
• График будет симметричен относительно оси \(y\), так как функция четная.
• Для \( x = -1 \) и \( x = 1 \), \( y = 0 \).
• График будет расти на обоих интервалах \( (-\infty, -1] \) и \( [1, \infty) \), так как \( y = \sqrt{x^2 — 1} \) увеличивается с увеличением \( |x| \).

График: