ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 1029 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Упростите выражение:

a) \( \frac{a}{a^{0.5}} + \frac{b}{(ab)^{0.5} + b} — \frac{a^{0.5} + b^{0.5}}{a^{0.5} b^{0.5}} \);

б) \( \left( \frac{a^{0.5} + 2}{a + 2a^{0.5} + 1} — \frac{a^{0.5} — 2}{a — 1} \right) \cdot \frac{a^{0.5} + 1}{a^{0.5}} \).

Упростить выражение:

a)
\[
\frac{a}{(ab)^{0.5} + b} + \frac{b}{(ab)^{0.5} — a} — \frac{a + b}{a^{0.5} b^{0.5}} =
\]

\[
= \frac{a}{\sqrt{b}(\sqrt{a} + \sqrt{b})} + \frac{b}{\sqrt{a}(\sqrt{b} — \sqrt{a})} — \frac{a + b}{\sqrt{ab}} =
\]

\[
= \frac{a\sqrt{a}(\sqrt{b} — \sqrt{a}) + b\sqrt{b}(\sqrt{a} + \sqrt{b}) — (a + b)(b — a)}{\sqrt{ab}(b — a)} =
\]

\[
= \frac{a\sqrt{ab} — a^2 + b\sqrt{ab} + b^2 — (b^2 — a^2)}{\sqrt{ab}(b — a)} =
\]

\[
= \frac{\sqrt{ab}(a + b)}{\sqrt{ab}(b — a)} = \frac{a + b}{b — a};
\]

б)

\[
\left( \frac{a^{0.5} + 2}{a + 2a^{0.5} + 1} — \frac{a^{0.5} — 2}{a — 1} \right) \cdot \frac{a^{0.5} + 1}{a^{0.5}} =
\]

\[
= \left( \frac{\sqrt{a} + 2}{(\sqrt{a} + 1)^2} — \frac{\sqrt{a} — 2}{(\sqrt{a} — 1)(\sqrt{a} + 1)} \right) \cdot \frac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a}} =
\]

\[
= \frac{(\sqrt{a} + 2)(\sqrt{a} — 1) — (\sqrt{a} — 2)(\sqrt{a} + 1)}{(\sqrt{a} — 1)(\sqrt{a} + 1)^2} \cdot \frac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a}} =
\]

\[
= \frac{a — \sqrt{a} + 2\sqrt{a} — 2 — a — \sqrt{a} + 2\sqrt{a} + 2}{(\sqrt{a} — 1)(\sqrt{a} + 1) \cdot \sqrt{a}} =
\]

\[
= \frac{2\sqrt{a}}{(a — 1) \cdot \sqrt{a}} = \frac{2}{a — 1};
\]

а) Упростить выражение:

Шаг 1: Исходное выражение:

\[
\frac{a}{(ab)^{0.5} + b} + \frac{b}{(ab)^{0.5} — a} — \frac{a + b}{a^{0.5} b^{0.5}} =
\]

У нас есть три дроби, и нужно привести их к общему знаменателю. Первым шагом мы преобразуем каждый из знаменателей, чтобы они стали более удобными для работы.

Шаг 2: Преобразование выражений:

Во-первых, представим выражение \((ab)^{0.5}\) в виде корня:

\[
(ab)^{0.5} = \sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}.
\]

Теперь перепишем выражения в числителях и знаменателях с корнями:

\[
= \frac{a}{\sqrt{b}(\sqrt{a} + \sqrt{b})} + \frac{b}{\sqrt{a}(\sqrt{b} — \sqrt{a})} — \frac{a + b}{\sqrt{ab}}.
\]

В данном выражении мы видим, что в числителе и знаменателе появились множители с корнями, что дает нам возможность применить стандартные методы работы с такими выражениями.

Шаг 3: Приведение к общему знаменателю:

Теперь, чтобы сложить и вычесть дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель для первых двух дробей будет \(\sqrt{ab} (\sqrt{a} — \sqrt{b}) (\sqrt{a} + \sqrt{b})\), что равно \(\sqrt{ab} (b — a)\), так как \((\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} — \sqrt{b}) = b — a\).

Общий знаменатель для третьей дроби уже имеет вид \(\sqrt{ab}\). Теперь мы можем объединить все выражения:

\[
= \frac{a\sqrt{a}(\sqrt{b} — \sqrt{a}) + b\sqrt{b}(\sqrt{a} + \sqrt{b}) — (a + b)(b — a)}{\sqrt{ab}(b — a)}.
\]

Шаг 4: Упрощение числителя:

Теперь раскроем скобки в числителе, чтобы упростить его:

\[
a\sqrt{a}(\sqrt{b} — \sqrt{a}) = a\sqrt{ab} — a^2,
\]

\[
b\sqrt{b}(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = b\sqrt{ab} + b^2,
\]

и третий член будет:

\[
-(a + b)(b — a) = -b^2 + a^2.
\]

Теперь подставим все это в числитель:

\[
= \frac{a\sqrt{ab} — a^2 + b\sqrt{ab} + b^2 — (b^2 — a^2)}{\sqrt{ab}(b — a)}.
\]

Шаг 5: Упрощаем числитель:

Теперь упростим числитель, сгруппировав похожие термины:

\[
a\sqrt{ab} + b\sqrt{ab} = \sqrt{ab}(a + b),
\]

и для оставшихся чисел:

\[
— a^2 + b^2 — (b^2 — a^2) = -a^2 + b^2 — b^2 + a^2 = 0.
\]

Теперь числитель принимает вид:

\[
= \frac{\sqrt{ab}(a + b)}{\sqrt{ab}(b — a)}.
\]

Шаг 6: Упростим окончательно:

Сократим \(\sqrt{ab}\) в числителе и знаменателе:

\[
= \frac{a + b}{b — a}.
\]

Ответ: \( \frac{a + b}{b — a} \).

б) Упростить выражение:

Шаг 1: Исходное выражение:

\[
\left( \frac{a^{0.5} + 2}{a + 2a^{0.5} + 1} — \frac{a^{0.5} — 2}{a — 1} \right) \cdot \frac{a^{0.5} + 1}{a^{0.5}} =
\]

У нас снова есть несколько дробей, которые нужно упростить. Начнем с того, что преобразуем корни и упростим выражения в знаменателях.

Шаг 2: Преобразуем выражения с корнями:

Преобразуем знаменатели каждой дроби:

\[
= \left( \frac{\sqrt{a} + 2}{(\sqrt{a} + 1)^2} — \frac{\sqrt{a} — 2}{(\sqrt{a} — 1)(\sqrt{a} + 1)} \right) \cdot \frac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a}}.
\]

Шаг 3: Приведение к общему знаменателю:

Для первых двух дробей общий знаменатель будет \((\sqrt{a} — 1)(\sqrt{a} + 1)^2\). Приводим дроби к общему знаменателю и раскрываем скобки в числителе:

\[
= \frac{(\sqrt{a} + 2)(\sqrt{a} — 1) — (\sqrt{a} — 2)(\sqrt{a} + 1)}{(\sqrt{a} — 1)(\sqrt{a} + 1)^2} \cdot \frac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a}}.
\]

Шаг 4: Раскрытие скобок в числителе:

Раскрываем скобки в числителе для каждой дроби:

\[
(\sqrt{a} + 2)(\sqrt{a} — 1) = a — \sqrt{a} + 2\sqrt{a} — 2,
\]

\[
(\sqrt{a} — 2)(\sqrt{a} + 1) = a — \sqrt{a} — 2\sqrt{a} + 2.
\]

Теперь подставим их в числитель:

\[
= \frac{a — \sqrt{a} + 2\sqrt{a} — 2 — a — \sqrt{a} + 2\sqrt{a} + 2}{(\sqrt{a} — 1)(\sqrt{a} + 1) \cdot \sqrt{a}}.
\]

Шаг 5: Упрощение числителя:

Теперь упростим числитель:

\[
a — \sqrt{a} + 2\sqrt{a} — 2 — a — \sqrt{a} + 2\sqrt{a} + 2 = 2\sqrt{a}.
\]

Шаг 6: Окончательное упрощение:

Теперь подставим это в итоговое выражение:

\[
= \frac{2\sqrt{a}}{(a — 1) \cdot \sqrt{a}} = \frac{2}{a — 1}.
\]

Ответ: \( \frac{2}{a — 1} \).