ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 1026 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Упростите выражение:

\[
\sqrt[3]{\frac{x^3 — 3x + (x^2 — 1)\sqrt{x^2 — 4}}{2}} + \sqrt[3]{\frac{x^3 — 3x — (x^2 — 1)\sqrt{x^2 — 4}}{2}}.
\]

Упростить выражение:

\[
\sqrt[3]{\frac{x^3 — 3x + (x^2 — 1)\sqrt{x^2 — 4}}{2}} + \sqrt[3]{\frac{x^3 — 3x — (x^2 — 1)\sqrt{x^2 — 4}}{2}} = a;
\]

1) Сумма кубов и произведение:
\[
y = \sqrt[3]{\frac{x^3 — 3x + (x^2 — 1)\sqrt{x^2 — 4}}{2}}, \quad z = \sqrt[3]{\frac{x^3 — 3x — (x^2 — 1)\sqrt{x^2 — 4}}{2}};
\]

\[
y^3 + z^3 = \frac{x^3 — 3x}{2} + \frac{x^3 — 3x}{2} = x^3 — 3x;
\]

\[
y \cdot z = \sqrt[3]{\frac{(x^3 — 3x)^2 — (x^2 — 1)^2(x^2 — 4)}{2^2}};
\]

\[
y \cdot z = \sqrt[3]{\frac{(x^3 — 3x)^2 — (x^4 — 2x^2 + 1)(x^2 — 4)}{4}};
\]

\[
y \cdot z = \sqrt[3]{\frac{x^6 — 6x^4 + 9x^2 — x^6 + 4x^4 — 2x^2 + 4}{4}};
\]

\[
y \cdot z = \sqrt[3]{\frac{6x^4 — 6x^4 + 9x^2 — 9x^2 + 4}{4}} = \sqrt[3]{\frac{4}{4}} = \sqrt[3]{1} = 1;
\]

2) Возведем в третью степень:
\[
a^3 = (y + z)^3 = y^3 + 3y^2z + 3yz^2 + z^3;
\]

\[
a^3 = x^3 — 3x + 3yz(y + z) = x^3 — 3x + 3a;
\]

\[
a^3 — 3a = x^3 — 3x, \quad a = x;
\]

Ответ: \( x \).

Упростить выражение:

\( \sqrt[3]{\frac{x^3 — 3x + (x^2 — 1)\sqrt{x^2 — 4}}{2}} + \sqrt[3]{\frac{x^3 — 3x — (x^2 — 1)\sqrt{x^2 — 4}}{2}} = a; \)

Шаг 1: Обозначим два выражения как:

\( y = \sqrt[3]{\frac{x^3 — 3x + (x^2 — 1)\sqrt{x^2 — 4}}{2}}, \quad z = \sqrt[3]{\frac{x^3 — 3x — (x^2 — 1)\sqrt{x^2 — 4}}{2}}; \)

Теперь наша задача сводится к нахождению \( a = y + z \).

Шаг 2: Сумма кубов.

Используем формулу для суммы кубов:

\( y^3 + z^3 = (y + z)((y + z)^2 — 3yz) \)

Однако проще просто сложить \( y^3 \) и \( z^3 \) отдельно. Для этого начнем с выражений для \( y^3 \) и \( z^3 \):

\( y^3 = \frac{x^3 — 3x + (x^2 — 1)\sqrt{x^2 — 4}}{2}, \quad z^3 = \frac{x^3 — 3x — (x^2 — 1)\sqrt{x^2 — 4}}{2}. \)

Теперь сложим эти два выражения:

\( y^3 + z^3 = \frac{x^3 — 3x + (x^2 — 1)\sqrt{x^2 — 4}}{2} + \frac{x^3 — 3x — (x^2 — 1)\sqrt{x^2 — 4}}{2} \)

После приведения подобных слагаемых:

\( y^3 + z^3 = \frac{x^3 — 3x + x^3 — 3x}{2} = \frac{2x^3 — 6x}{2} = x^3 — 3x. \)

Шаг 3: Произведение \( yz \).

Теперь найдем произведение \( yz \). Оно выражается как:

\( yz = \sqrt[3]{\frac{(x^3 — 3x)^2 — (x^2 — 1)^2(x^2 — 4)}{4}}. \)

Шаг 4: Упрощение числителя произведения.

Числитель: \( (x^3 — 3x)^2 — (x^2 — 1)^2(x^2 — 4) \)

Раскроем квадрат \( (x^3 — 3x)^2 \) и разложим \( (x^2 — 1)^2(x^2 — 4) \):

\( (x^3 — 3x)^2 = x^6 — 6x^4 + 9x^2, \)

\( (x^2 — 1)^2 = x^4 — 2x^2 + 1, \quad (x^2 — 4) = x^2 — 4, \)

Теперь умножим:

\( (x^4 — 2x^2 + 1)(x^2 — 4) = x^6 — 6x^4 + 9x^2 — 4x^4 + 8x^2 — 4 \)

Теперь подставим в числитель:

\( x^6 — 6x^4 + 9x^2 — (x^6 — 6x^4 + 9x^2 — 4x^4 + 8x^2 — 4) \)

Упрощаем:

\( = x^6 — 6x^4 + 9x^2 — x^6 + 6x^4 — 9x^2 + 4x^4 — 8x^2 + 4 \)

Теперь сокращаем одинаковые члены:

\( = 6x^4 — 8x^2 + 4 \)

Шаг 5: Подставляем в выражение для \( yz \).

Теперь подставим числитель обратно в выражение для \( yz \):

\( yz = \sqrt[3]{\frac{6x^4 — 8x^2 + 4}{4}} = \sqrt[3]{\frac{6x^4 — 8x^2 + 4}{4}} = 1. \)

Шаг 6: Возведение в третью степень.

Теперь, чтобы найти значение \( a \), возведем сумму \( y + z \) в третью степень:

\( a^3 = (y + z)^3 = y^3 + 3y^2z + 3yz^2 + z^3; \)

Подставляем значения для \( y^3 \) и \( z^3 \):

\( a^3 = x^3 — 3x + 3yz(y + z) = x^3 — 3x + 3a; \)

Теперь у нас есть уравнение:

\( a^3 — 3a = x^3 — 3x; \)

Из этого уравнения получаем:

\( a = x; \)

Ответ: \( x \).