ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 1025 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Упростите выражение:

a)
\[
\frac{(x^{-0.4} + y^{-0.4})^{-1}(xy^{-0.2} + x^{0.2}y)}{x^{0.8} — x^{0.4}y^{0.4} + y^{0.8}};
\]

б)
\[
\frac{y + 2 + (\sqrt{y^2 — 4})^{0.5}}{y + 2 — (\sqrt{y^2 — 4})^{0.5}} + \frac{y + 2 — (\sqrt{y^2 — 4})^{0.5}}{y + 2 + (\sqrt{y^2 — 4})^{0.5}};
\]

в)
\[
\frac{(a + b)^{-0.5} + (a — b)^{-0.5} + ((a + b)^{-0.5} + (a — b)^{-0.5})^{-1}}{(a + b)^{0.5} + (a — b)^{-0.5} — ((a + b)^{-0.5} + (a — b)^{-0.5})^{-1}}.
\]

a) \( \frac{(x^{-0.4} + y^{-0.4})^{-1}(xy^{-0.2} + x^{-0.2}y)}{x^{0.8} — x^{0.4}y^{0.4} + y^{0.8}} \):

Начнем с упрощения числителя и знаменателя.

Числитель:

Числитель: \( (x^{-0.4} + y^{-0.4})^{-1} \cdot (xy^{-0.2} + x^{-0.2}y) \)

1. Перепишем выражение с отрицательными степенями:

\( (x^{-0.4} + y^{-0.4})^{-1} = \frac{1}{x^{0.4}} + \frac{1}{y^{0.4}} \)

2. Теперь перепишем второй множитель \( (xy^{-0.2} + x^{-0.2}y) \):

\( = \frac{x}{y^{0.2}} + \frac{y}{x^{0.2}} \)

Таким образом, числитель становится:

\( = \left(\frac{1}{x^{0.4}} + \frac{1}{y^{0.4}}\right) \cdot \left( \frac{x}{y^{0.2}} + \frac{y}{x^{0.2}} \right) \)

Знаменатель:

Знаменатель: \( x^{0.8} — x^{0.4}y^{0.4} + y^{0.8} \)

Это выражение можно оставить в текущем виде или попытаться упростить его дальше, но для простоты оставим его как есть.

Объединение числителя и знаменателя:

Теперь, после подстановки числителя и знаменателя, получаем следующее выражение:

\( = \frac{x^{0.4}y^{0.4}}{x^{0.4} + y^{0.4}} \cdot \frac{x^{1.2} + y^{1.2}}{x^{0.2}y^{0.2}} \cdot \frac{1}{x^{0.8} — (xy)^{0.4} + y^{0.8}} \)

Упрощение:

После дополнительного упрощения, мы получаем:

\( = \frac{x^{0.2}y^{0.2}(x^{1.2} + y^{1.2})}{(x^{0.4})^3 + (y^{0.4})^3} = x^{0.2}y^{0.2} \)

Ответ: \( x^{0.2}y^{0.2} \).

b) \( \frac{y + 2 + (\sqrt{y^2 — 4})^{0.5}}{y + 2 — (\sqrt{y^2 — 4})^{0.5}} + \frac{y + 2 — (\sqrt{y^2 — 4})^{0.5}}{y + 2 + (\sqrt{y^2 — 4})^{0.5}} \):

Рассмотрим сумму двух дробей. Мы применим формулу разности квадратов:

\( = \frac{(y + 2 + (\sqrt{y^2 — 4})^{0.5})^2 + (y + 2 — (\sqrt{y^2 — 4})^{0.5})^2}{(y + 2 — (\sqrt{y^2 — 4})^{0.5})(y + 2 + (\sqrt{y^2 — 4})^{0.5})} \)

Числитель:

В числителе:

\( = 2(y + 2)^2 + 2(y^2 — 4) \)

Упрощаем числитель:

\( = 2y^2 + 8y + 8 + 2y^2 — 8 = 4y^2 + 8y \)

Знаменатель:

Теперь знаменатель:

\( (y + 2)^2 — (y^2 — 4) \)

Упрощаем знаменатель:

\( = y^2 + 4y + 4 — y^2 + 4 = 4y + 8 \)

Окончательное упрощение:

Теперь сокращаем дробь:

\( = \frac{4y^2 + 8y}{4(y + 2)} = \frac{4y(y + 2)}{4(y + 2)} = y \)

Ответ: \( y \).

в) \( \frac{((a + b)^{-0.5} + (a — b)^{-0.5})^{-1} + ((a + b)^{-0.5} — (a — b)^{-0.5})^{-1}}{((a + b)^{-0.5} + (a — b)^{-0.5})^{-1} — ((a + b)^{-0.5} — (a — b)^{-0.5})^{-1}} \):

Рассмотрим числитель и знаменатель:

Числитель:

\( \frac{2(a + b)^{-0.5}}{(a + b)^{-1} — (a — b)^{-1}} + \frac{-2(a — b)^{-0.5}}{(a + b)^{-1} — (a — b)^{-1}} \)

Приводим дроби к общему знаменателю:

\( = \frac{2(a + b)^{-0.5}}{-2(a — b)^{-0.5}} = -\frac{(a — b)^{0.5}}{(a + b)^{0.5}} \)

Ответ: \( -\sqrt{\frac{a — b}{a + b}} \).

a) \( \frac{(x^{-0.4} + y^{-0.4})^{-1}(xy^{-0.2} + x^{-0.2}y)}{x^{0.8} — x^{0.4}y^{0.4} + y^{0.8}} \):

Начнем с упрощения числителя. В числителе у нас выражения с отрицательными степенями, которые можно переписать как:

\( (x^{-0.4} + y^{-0.4})^{-1} = \frac{1}{x^{0.4}} + \frac{1}{y^{0.4}} \)

Таким образом, числитель принимает вид:

\( = \left(\frac{1}{x^{0.4}} + \frac{1}{y^{0.4}}\right)^{-1} \cdot (xy^{-0.2} + x^{-0.2}y) \)

Теперь перепишем второй множитель в числителе. Для удобства группируем выражения:

\( = \left(\frac{1}{x^{0.4}} + \frac{1}{y^{0.4}}\right)^{-1} \cdot \left(\frac{x}{y^{0.2}} + \frac{y}{x^{0.2}}\right) \)

Теперь перейдем к знаменателю. Знаменатель выглядит следующим образом:

\( x^{0.8} — x^{0.4}y^{0.4} + y^{0.8} \)

Мы видим, что это выражение также можно переписать с использованием кубов. Перепишем его как:

\( = \sqrt{xy} \cdot (\sqrt{x} + \sqrt{y} + 1) \)

Теперь подставим все обратно в выражение:

\( = \frac{x^{0.4}y^{0.4}}{x^{0.4} + y^{0.4}} \cdot \frac{x^{1.2} + y^{1.2}}{x^{0.2}y^{0.2}} \cdot \frac{1}{(x^{0.8} — (xy)^{0.4} + y^{0.8})} \)

После упрощения мы получаем результат:

\( = \frac{x^{0.2}y^{0.2}(x^{1.2} + y^{1.2})}{(x^{0.4})^3 + (y^{0.4})^3} = x^{0.2}y^{0.2} \)

Ответ: \( x^{0.2}y^{0.2} \).

b) \( \frac{y + 2 + (\sqrt{y^2 — 4})^{0.5}}{y + 2 — (\sqrt{y^2 — 4})^{0.5}} + \frac{y + 2 — (\sqrt{y^2 — 4})^{0.5}}{y + 2 + (\sqrt{y^2 — 4})^{0.5}} \):

Начнем с того, что у нас есть сумма двух дробей. Применим формулу разности квадратов, которая поможет упростить дроби:

\( = \frac{(y + 2 + (\sqrt{y^2 — 4})^{0.5})^2 + (y + 2 — (\sqrt{y^2 — 4})^{0.5})^2}{(y + 2 — (\sqrt{y^2 — 4})^{0.5})(y + 2 + (\sqrt{y^2 — 4})^{0.5})} \)

Теперь упростим числитель, используя свойства квадратов:

\( = \frac{2(y + 2)^2 + 2(y^2 — 4)}{(y + 2)^2 — (y^2 — 4)} \)

Числитель после упрощения будет:

\( = 2y^2 + 8y + 8 + 2y^2 — 8 = 4y^2 + 8y \)

Теперь упрощаем знаменатель:

\( = (y + 2)^2 — (y^2 — 4) \)

После упрощения знаменателя получаем:

\( = y^2 + 4y + 4 — y^2 + 4 = 4y + 8 \)

Теперь сокращаем дробь:

\( = \frac{4y^2 + 8y}{4(y + 2)} = \frac{4y(y + 2)}{4(y + 2)} = y \)

Ответ: \( y \).

в) \( \frac{((a + b)^{-0.5} + (a — b)^{-0.5})^{-1} + ((a + b)^{-0.5} — (a — b)^{-0.5})^{-1}}{((a + b)^{-0.5} + (a — b)^{-0.5})^{-1} — ((a + b)^{-0.5} — (a — b)^{-0.5})^{-1}} \):

Рассмотрим числитель и знаменатель по очереди. Начнем с числителя:

\( \frac{2(a + b)^{-0.5}}{(a + b)^{-1} — (a — b)^{-1}} + \frac{-2(a — b)^{-0.5}}{(a + b)^{-1} — (a — b)^{-1}} \)

Приводим дроби к общему знаменателю и получаем:

\( = \frac{2(a + b)^{-0.5}}{-2(a — b)^{-0.5}} = -\frac{(a — b)^{0.5}}{(a + b)^{0.5}} \)

Ответ: \( -\sqrt{\frac{a — b}{a + b}} \).