ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 1024 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что значение выражения не зависит от значений переменных:

a)
\[
\left((27a)^{\frac{1}{3}} + (8a)^{\frac{1}{3}}\right) — \left(3 \cdot 5^{-1}(343a)^{\frac{1}{3}} — 30(0.001a)^{\frac{1}{3}}\right);
\]

b)
\[
ab\sqrt{\frac{b}{a^2}} — ab\sqrt{\frac{a}{b^2}} + \frac{a}{b}\sqrt[3]{ab^4} — \frac{a}{b}\sqrt[3]{a^4b}.
\]

Значение не зависит от \( a \) и \( b \):

a)
\[
\left((27a)^{\frac{1}{3}} + (8a)^{\frac{1}{3}}\right) — \left(3,5^{-1}(343a)^{\frac{1}{3}} + 30(0,001a)^{\frac{1}{3}}\right) =
\]

\[
= \left(3 \cdot a^{\frac{1}{3}} + 2 \cdot a^{\frac{1}{3}}\right) — \left(\frac{1}{3.5} \cdot 7 \cdot a^{\frac{1}{3}} + 30 \cdot 0.1 \cdot a^{\frac{1}{3}}\right) =
\]

\[
= 5a^{\frac{1}{3}} — \frac{2}{7} \cdot 7a^{\frac{1}{3}} — 3a^{\frac{1}{3}} = 2a^{\frac{1}{3}} — 2a^{\frac{1}{3}} = 0;
\]

Что и требовалось доказать.

b)
\[
ab\sqrt[3]{\frac{b}{a^2}} — ab^3\sqrt{\frac{a}{b^2}} + \frac{a}{b}\sqrt[3]{ab^4} — \frac{b}{a}\sqrt[3]{a^4b} =
\]

\[
= b\sqrt[3]{ab} — a\sqrt[3]{ab} + a\sqrt[3]{ab} — b\sqrt[3]{ab} = 0;
\]

Что и требовалось доказать.

a) \( \left((27a)^{\frac{1}{3}} + (8a)^{\frac{1}{3}}\right) — \left(3,5^{-1}(343a)^{\frac{1}{3}} + 30(0,001a)^{\frac{1}{3}}\right) \):

Начнем с упрощения выражений в числителе и знаменателе:

Числитель:

\( (27a)^{\frac{1}{3}} + (8a)^{\frac{1}{3}} = 3a^{\frac{1}{3}} + 2a^{\frac{1}{3}} = (3 + 2)a^{\frac{1}{3}} = 5a^{\frac{1}{3}} \)

Теперь знаменатель:

\( 3.5^{-1}(343a)^{\frac{1}{3}} + 30(0.001a)^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{3.5} \cdot 7a^{\frac{1}{3}} + 30 \cdot 0.1 \cdot a^{\frac{1}{3}} \)

Упростим выражения в знаменателе:

\( = \frac{1}{3.5} \cdot 7a^{\frac{1}{3}} + 3a^{\frac{1}{3}} \)

Теперь составим полное выражение:

\( = 5a^{\frac{1}{3}} — \left( \frac{2}{7} \cdot 7a^{\frac{1}{3}} + 3a^{\frac{1}{3}} \right) \)

Упростим:

\( = 5a^{\frac{1}{3}} — 2a^{\frac{1}{3}} — 3a^{\frac{1}{3}} \)

\( = 2a^{\frac{1}{3}} — 2a^{\frac{1}{3}} = 0 \)

Ответ: \( 0 \).

b) \( ab\sqrt[3]{\frac{b}{a^2}} — ab^3\sqrt{\frac{a}{b^2}} + \frac{a}{b}\sqrt[3]{ab^4} — \frac{b}{a}\sqrt[3]{a^4b} \):

Начнем с разложения каждого выражения:

Числитель: \( ab\sqrt[3]{\frac{b}{a^2}} \) можно переписать как:

\( = b\sqrt[3]{ab} \)

Затем, второе слагаемое \( ab^3\sqrt{\frac{a}{b^2}} \) можно упростить так:

\( = a\sqrt[3]{ab} \)

Теперь третье слагаемое \( \frac{a}{b}\sqrt[3]{ab^4} \) упрощается до:

\( = a\sqrt[3]{ab} \)

И последнее слагаемое \( \frac{b}{a}\sqrt[3]{a^4b} \) упрощается до:

\( = b\sqrt[3]{ab} \)

Теперь все слагаемые подставляем в дробь:

\( = b\sqrt[3]{ab} — a\sqrt[3]{ab} + a\sqrt[3]{ab} — b\sqrt[3]{ab} \)

Сокращаем одинаковые элементы:

\( = 0 \)

Ответ: \( 0 \).