ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 1023 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите значение дроби:

a) \( \frac{0.5^{\frac{1}{2}}}{5\sqrt{50}} \);

б) \( \frac{25^{\frac{1}{3}}}{0.04^6} \);

в) \( \left( \frac{4}{3} \right)^{0.5} \cdot \frac{2\sqrt{108}}{24^{0.25}} \).

г) \[\frac{48^{0.25}}{243^{0.25}}\]

Найти значение дроби:

a)
\[
\frac{0.5^{\frac{1}{2}}}{5\sqrt{50}} = \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{5\sqrt{25 \cdot 2}} = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{5 \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{1}{25 \cdot 2} = \frac{1}{50};
\]

б)
\(\frac{25^{\frac{1}{3}}}{0,046^{\frac{1}{6}}} = 25^{\frac{1}{3}} : \left( \frac{1}{25} \right)^{\frac{1}{6}} = 25^{\frac{1}{2}} = \sqrt{25} = 5;\)

в)
\[
\frac{2\sqrt{108}}{\left(\frac{4}{3}\right)^{0.5}} = \frac{2\sqrt{36 \cdot 3}}{\sqrt{4} : \sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = 6 \cdot 3 = 18;
\]

г)
\[
\frac{48^{0.25}}{243^{0.25}} = \left(\frac{48}{243}\right)^{0.25} = \left(\frac{16}{81}\right)^{0.25} = \left(\frac{2^4}{3^4}\right)^{0.25} = \frac{2}{3}.
\]

a) \( \frac{0.5^{\frac{1}{2}}}{5\sqrt{50}} \):

Начнем с упрощения числителя и знаменателя.

Числитель: \( 0.5^{\frac{1}{2}} \) — это корень квадратный из 0.5, который можно записать как:

\( 0.5^{\frac{1}{2}} = \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \)

Теперь рассмотрим знаменатель \( 5\sqrt{50} \). Мы можем представить 50 как \( 25 \cdot 2 \), и затем упростить:

\( \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2} \)

Теперь у нас выражение:

\( \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{5 \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{1}{25 \cdot 2} = \frac{1}{50} \)

Ответ: \( \frac{1}{50} \).

b) \( \frac{25^{\frac{1}{3}}}{0.046^{\frac{1}{6}}} \):

Начнем с числителя \( 25^{\frac{1}{3}} \), который можно записать как:

\( 25^{\frac{1}{3}} = \left(5^2\right)^{\frac{1}{3}} = 5^{\frac{2}{3}} \)

Теперь рассмотрим знаменатель \( 0.046^{\frac{1}{6}} \). Представим 0.046 как \( \frac{1}{25} \), тогда:

\( 0.046^{\frac{1}{6}} = \left( \frac{1}{25} \right)^{\frac{1}{6}} = \frac{1}{25^{\frac{1}{6}}} = \frac{1}{25^{\frac{1}{6}}} = 25^{\frac{-1}{6}} \)

Теперь можем записать выражение как:

\( 25^{\frac{2}{3}} : 25^{\frac{1}{6}} = 25^{\frac{2}{3} — \frac{1}{6}} = 25^{\frac{4}{6} — \frac{1}{6}} = 25^{\frac{3}{6}} = 25^{\frac{1}{2}} \)

И это равно:

\( 25^{\frac{1}{2}} = \sqrt{25} = 5 \)

Ответ: \( 5 \).

в) \( \frac{2\sqrt{108}}{\left(\frac{4}{3}\right)^{0.5}} \):

Числитель: \( 2\sqrt{108} \). Мы можем разложить 108 как \( 36 \cdot 3 \), то есть:

\( 2\sqrt{108} = 2\sqrt{36 \cdot 3} = 2 \cdot 6\sqrt{3} = 12\sqrt{3} \)

Знаменатель: \( \left( \frac{4}{3} \right)^{0.5} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \)

Теперь подставляем в дробь:

\( \frac{12\sqrt{3}}{\frac{2}{\sqrt{3}}} = 12\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{12 \cdot 3}{2} = 18 \)

Ответ: \( 18 \).

г) \( \frac{48^{0.25}}{243^{0.25}} \):

Начнем с того, что у нас есть дробь с корнями четвертой степени. Преобразуем её в более удобный вид:

\( \frac{48^{0.25}}{243^{0.25}} = \left( \frac{48}{243} \right)^{0.25} \)

Теперь упростим дробь \( \frac{48}{243} \). Это можно записать как:

\( \frac{48}{243} = \frac{16}{81} \), так как \( \frac{48}{243} = \frac{16}{81} \)

Теперь возьмем четвертый корень из \( \frac{16}{81} \):

\( \left( \frac{16}{81} \right)^{0.25} = \frac{2^4}{3^4} \) и это равно \( \frac{2}{3} \)

Ответ: \( \frac{2}{3} \).