ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 1022 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что
\(\sqrt{a^2 + 2b^2 — 2ab\sqrt{2}} = \begin{cases}
a — b\sqrt{2}, \, \text{если } a > b\sqrt{2}, \\
b\sqrt{2} — a, \, \text{если } a < b\sqrt{2}.
\end{cases}\)

Доказать равенство:
\(\sqrt{a^2 + 2b^2 — 2ab\sqrt{2}} = \sqrt{a^2 — 2 \cdot a \cdot b\sqrt{2} + (b\sqrt{2})^2} =\)
\(\sqrt{(a — b\sqrt{2})^2} = |a — b\sqrt{2}| = \begin{cases}
a — b\sqrt{2}, \, \text{если } a \geq b\sqrt{2}; \\
b\sqrt{2} — a, \, \text{если } a \leq b\sqrt{2}.
\end{cases}\)

Что и требовалось доказать.

Доказать равенство:

Начнем с исходного выражения:

\( \sqrt{a^2 + 2b^2 — 2ab\sqrt{2}} \)

Посмотрим на выражение под корнем. Мы видим, что оно напоминает полное квадратное выражение. Попробуем переписать его так, чтобы оно приняло форму квадрата разности.

Рассмотрим следующие слагаемые: \( a^2 \), \( 2ab\sqrt{2} \) и \( 2b^2 \). Мы можем переписать это выражение, выделив полный квадрат:

\( a^2 — 2ab\sqrt{2} + (b\sqrt{2})^2 \)

Здесь \( (b\sqrt{2})^2 = 2b^2 \), поэтому выражение под корнем теперь выглядит как:

\( = \sqrt{a^2 — 2ab\sqrt{2} + 2b^2} \)

Это выражение под корнем — это квадрат разности \( (a — b\sqrt{2}) \), так как:

\( = \sqrt{(a — b\sqrt{2})^2} \)

Теперь извлекаем квадратный корень из квадрата. Мы знаем, что извлечение квадратного корня из квадрата даёт абсолютную величину, то есть:

\( = |a — b\sqrt{2}| \)

Теперь рассмотрим два возможных случая в зависимости от знака выражения \( a — b\sqrt{2} \):

• Если \( a \geq b\sqrt{2} \), то \( |a — b\sqrt{2}| = a — b\sqrt{2} \);
• Если \( a \leq b\sqrt{2} \), то \( |a — b\sqrt{2}| = b\sqrt{2} — a \).

Таким образом, мы получаем окончательное выражение:

\( = \begin{cases}
a — b\sqrt{2}, & \text{если } a \geq b\sqrt{2}, \\
b\sqrt{2} — a, & \text{если } a \leq b\sqrt{2}.
\end{cases} \)

Что и требовалось доказать.