ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 1021 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Сократите дробь:

\[
\frac{x + y + 2\sqrt{xy} + 2\sqrt{x} + 2\sqrt{y} + 1}{x\sqrt{y} + y\sqrt{x} + \sqrt{xy}}.
\]

Сократить дробь:

\[
\frac{x + y + 2\sqrt{xy} + 2\sqrt{x} + 2\sqrt{y} + 1}{x\sqrt{y} + y\sqrt{x} + \sqrt{xy}} =
\]

\[
= \frac{(x + 2\sqrt{xy} + y) + 2(\sqrt{x} + \sqrt{y}) + 1}{\sqrt{xy}(\sqrt{x} + \sqrt{y} + 1)} =
\]

\[
= \frac{(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 + 2(\sqrt{x} + \sqrt{y}) + 1}{\sqrt{xy}(\sqrt{x} + \sqrt{y} + 1)} =
\]

\[
= \frac{(\sqrt{x} + \sqrt{y} + 1)^2}{\sqrt{xy}(\sqrt{x} + \sqrt{y} + 1)} = \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y} + 1}{\sqrt{xy}}.
\]

Сократить дробь:

У нас есть выражение:

\( \frac{x + y + 2\sqrt{xy} + 2\sqrt{x} + 2\sqrt{y} + 1}{x\sqrt{y} + y\sqrt{x} + \sqrt{xy}} \)

Начнем с того, что разложим числитель и знаменатель, чтобы можно было упростить выражение.

Шаг 1: Упростим числитель.

Числитель можно разбить на несколько частей, группируя похожие элементы. Мы видим, что \( x \) и \( y \) — это два слагаемых, а оставшиеся элементы содержат корни. Для удобства представим это как:

\( x + y + 2\sqrt{xy} + 2\sqrt{x} + 2\sqrt{y} + 1 \)

Теперь сгруппируем элементы так, чтобы получился более удобный вид. Мы выделим квадраты корней, оставим линейные элементы и объединим их:

\( = (x + 2\sqrt{xy} + y) + 2(\sqrt{x} + \sqrt{y}) + 1 \)

Шаг 2: Упростим знаменатель.

Знаменатель выглядит следующим образом:

\( x\sqrt{y} + y\sqrt{x} + \sqrt{xy} \)

Обратите внимание, что \( x\sqrt{y} \) и \( y\sqrt{x} \) похожи, и их можно представить в виде общего выражения. Мы также видим, что есть общий множитель \( \sqrt{xy} \). Попробуем представить знаменатель в виде произведения, чтобы упростить дробь:

\( = \sqrt{xy}(\sqrt{x} + \sqrt{y} + 1) \)

Шаг 3: Преобразуем числитель в квадрат суммы.

Обратите внимание, что числитель можно записать в виде квадрата суммы. У нас есть выражение вида \( (\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 \), потому что:

\( (x + 2\sqrt{xy} + y) \) можно привести к виду \( (\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 \), а оставшаяся часть \( 2(\sqrt{x} + \sqrt{y}) + 1 \) как полный квадрат:

\( = (\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 + 2(\sqrt{x} + \sqrt{y}) + 1 \)

Это выражение — это квадрат суммы, так как:

\( (\sqrt{x} + \sqrt{y} + 1)^2 \)

Шаг 4: Сократим числитель и знаменатель.

Теперь у нас есть дробь в виде:

\( = \frac{(\sqrt{x} + \sqrt{y} + 1)^2}{\sqrt{xy}(\sqrt{x} + \sqrt{y} + 1)} \)

Мы видим, что числитель и знаменатель имеют одинаковый множитель \( (\sqrt{x} + \sqrt{y} + 1) \), поэтому можем его сократить:

\( = \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y} + 1}{\sqrt{xy}} \)

Ответ: \( \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y} + 1}{\sqrt{xy}} \).