ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 1019 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Представьте в виде квадрата суммы:

a) \( a + b + 2\sqrt{ab} + 2\sqrt{a} + 2\sqrt{b} + 1 \);

b) \( \sqrt{a} + b + 1 + 2\sqrt[3]{ab^2} — 2\sqrt[3]{a} — 2b \).

Представить в виде квадрата суммы:

a)
\[
a + b + 2\sqrt{ab} + 2\sqrt{a} + 2\sqrt{b} + 1 =
\]

\[
= (a + 2\sqrt{ab} + b) + 2(\sqrt{a} + \sqrt{b}) + 1 =\]

\[
= (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 + 2(\sqrt{a} + \sqrt{b}) + 1 =
\]

\[
= (\sqrt{a} + \sqrt{b} + 1)^2;
\]

б)
\[
\sqrt{a} + b + 1 + 2\sqrt[4]{ab^2} — 2\sqrt[4]{a} — 2\sqrt{b} =
\]

\[
= (\sqrt{a} + 2\sqrt[4]{ab^2} + b) — 2(\sqrt[4]{a} + \sqrt{b}) + 1 =
\]

\[
= (\sqrt[4]{a} + \sqrt{b})^2 — 2(\sqrt[4]{a} + \sqrt{b}) + 1 =
\]

\[
= (\sqrt[4]{a} + \sqrt{b} — 1)^2.
\]

a) \( a + b + 2\sqrt{ab} + 2\sqrt{a} + 2\sqrt{b} + 1 \):

Для того чтобы представить выражение в виде квадрата суммы, начнем с исходного выражения:

\( a + b + 2\sqrt{ab} + 2\sqrt{a} + 2\sqrt{b} + 1 \)

Теперь группируем элементы таким образом, чтобы можно было выделить квадрат суммы. Объединяем все слагаемые, которые содержат корни, в одну часть, а оставшиеся выражения в другую. Таким образом, получаем:

\( = (a + 2\sqrt{ab} + b) + 2(\sqrt{a} + \sqrt{b}) + 1 \)

Теперь рассмотрим выражение в первой группе, \( a + 2\sqrt{ab} + b \). Это можно записать как квадрат суммы корней \( \sqrt{a} \) и \( \sqrt{b} \), поскольку:

\( a + 2\sqrt{ab} + b = (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 \)

Теперь перепишем наше выражение, подставив этот квадрат:

\( = (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 + 2(\sqrt{a} + \sqrt{b}) + 1 \)

Мы видим, что оставшаяся часть \( 2(\sqrt{a} + \sqrt{b}) + 1 \) тоже образует квадрат суммы. Мы можем переписать ее как:

\( = (\sqrt{a} + \sqrt{b} + 1)^2 \)

Таким образом, мы представили исходное выражение в виде квадрата суммы:

Ответ: \( (\sqrt{a} + \sqrt{b} + 1)^2 \).

б) \( \sqrt{a} + b + 1 + 2\sqrt[4]{ab^2} — 2\sqrt[4]{a} — 2\sqrt{b} \):

Для начала разберем выражение на несколько частей, чтобы понять, как можно выделить квадраты сумм. Исходное выражение:

\( \sqrt{a} + b + 1 + 2\sqrt[4]{ab^2} — 2\sqrt[4]{a} — 2\sqrt{b} \)

Мы будем группировать подобные члены. Первая группа — это все слагаемые, содержащие корни, и их можно объединить следующим образом:

\( = (\sqrt{a} + 2\sqrt[4]{ab^2} + b) — 2(\sqrt[4]{a} + \sqrt{b}) + 1 \)

Теперь сосредоточимся на выражении \( \sqrt[4]{a} + \sqrt{b} \). Мы можем представить его как квадрат корня:

\( = (\sqrt[4]{a} + \sqrt{b})^2 \)

Теперь, подставляя это в наше выражение, получаем:

\( = (\sqrt[4]{a} + \sqrt{b})^2 — 2(\sqrt[4]{a} + \sqrt{b}) + 1 \)

И, наконец, заметим, что выражение \( (\sqrt[4]{a} + \sqrt{b})^2 — 2(\sqrt[4]{a} + \sqrt{b}) + 1 \) — это полный квадрат разности:

\( = (\sqrt[4]{a} + \sqrt{b} — 1)^2 \)

Ответ: \( (\sqrt[4]{a} + \sqrt{b} — 1)^2 \).