ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 1018 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Сократите дробь:

a) \( \frac{\sqrt[4]{a} + \sqrt[3]{b^2}}{\sqrt{a} — \sqrt[4]{b}} \);

б) \( \frac{a — b}{\sqrt[4]{a} — \sqrt[4]{b}} \);

в) \( \frac{a\sqrt{a} — b\sqrt{b}}{\sqrt{a} — \sqrt{b}} \);

г) \( \frac{x + 3\sqrt{x^2y} + 3\sqrt{xy^2} + y}{\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{y^2} + 2\sqrt[3]{xy}} \).

Сократить дробь:

a)
\[
\frac{\sqrt[4]{a} + \sqrt[3]{b}}{\sqrt{a} — \sqrt[4]{b^2}} = \frac{\sqrt[4]{a} + \sqrt[3]{b}}{(\sqrt[4]{a} — \sqrt[3]{b})(\sqrt[4]{a} + \sqrt[3]{b})} = \frac{1}{\sqrt[4]{a} — \sqrt[3]{b}};
\]

б)
\[
\frac{a — b}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} = \frac{(\sqrt{a} — \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} =
\]
\[
= \frac{(\sqrt[4]{a} — \sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} = (\sqrt[4]{a} — \sqrt[4]{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b});
\]

в)
\[
\frac{a\sqrt{a} — b\sqrt{b}}{\sqrt{a} — \sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{a} — \sqrt{b})(a + \sqrt{ab} + b)}{\sqrt{a} — \sqrt{b}} = a + \sqrt{ab} + b;
\]

г)
\[
\frac{x + 3\sqrt{x^2y} + 3\sqrt{xy^2} + y}{3\sqrt[3]{x^2} + 3\sqrt[3]{y^2} + 2\sqrt[3]{xy}} = \frac{(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y})^3}{(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y})^2} = \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}.
\]

a) \( \frac{\sqrt[4]{a} + \sqrt[3]{b}}{\sqrt{a} — \sqrt[4]{b^2}} \):

Рассмотрим дробь:

\( \frac{\sqrt[4]{a} + \sqrt[3]{b}}{\sqrt{a} — \sqrt[4]{b^2}} \)

Мы можем умножить числитель и знаменатель на сопряженное выражение \( (\sqrt[4]{a} + \sqrt[3]{b}) \), чтобы упростить дробь:

\( = \frac{\sqrt[4]{a} + \sqrt[3]{b}}{(\sqrt[4]{a} — \sqrt[3]{b})(\sqrt[4]{a} + \sqrt[3]{b})} \)

Применим формулу разности квадратов: \( (a — b)(a + b) = a^2 — b^2 \), и получаем:

\( = \frac{\sqrt[4]{a} + \sqrt[3]{b}}{\sqrt[4]{a^2} — \sqrt[3]{b^2}} \)

Теперь у нас осталась дробь вида:

\( = \frac{1}{\sqrt[4]{a} — \sqrt[3]{b}} \)

Ответ: \( \frac{1}{\sqrt[4]{a} — \sqrt[3]{b}} \).

b) \( \frac{a — b}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} \):

Мы начинаем с дроби:

\( \frac{a — b}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} \)

Используем разложение разности квадратов:

\( \frac{(\sqrt{a} — \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} \)

Теперь умножим и упростим выражение в числителе:

\( = \frac{(\sqrt[4]{a} — \sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} \)

Сокращаем знаменатель и получаем:

\( = (\sqrt[4]{a} — \sqrt[4]{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) \)

Ответ: \( (\sqrt[4]{a} — \sqrt[4]{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) \).

в) \( \frac{a\sqrt{a} — b\sqrt{b}}{\sqrt{a} — \sqrt{b}} \):

Начнем с разложения числителя:

\( a\sqrt{a} — b\sqrt{b} = (\sqrt{a} — \sqrt{b})(a + \sqrt{ab} + b) \)

Теперь выразим дробь:

\( \frac{(\sqrt{a} — \sqrt{b})(a + \sqrt{ab} + b)}{\sqrt{a} — \sqrt{b}} \)

Сократим числитель и знаменатель:

\( = a + \sqrt{ab} + b \)

Ответ: \( a + \sqrt{ab} + b \).

г) \( \frac{x + 3\sqrt{x^2y} + 3\sqrt{xy^2} + y}{3\sqrt[3]{x^2} + 3\sqrt[3]{y^2} + 2\sqrt[3]{xy}} \):

Начнем с выражения в числителе:

\( x + 3\sqrt{x^2y} + 3\sqrt{xy^2} + y \)

Мы видим, что это выражение может быть записано как куб суммы корней:

\( = (\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y})^3 \)

Теперь рассмотрим знаменатель:

\( 3\sqrt[3]{x^2} + 3\sqrt[3]{y^2} + 2\sqrt[3]{xy} \)

Это можно записать как квадрат кубической суммы:

\( = (\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y})^2 \)

Теперь сокращаем числитель и знаменатель:

\( = \frac{(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y})^3}{(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y})^2} \)

Получаем:

\( = \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} \)

Ответ: \( \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} \).