ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 1017 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что верно равенство:

a) \( \sqrt[6]{99 + 70\sqrt{2}} = \sqrt{2} + 1 \);

b) \( \sqrt[4]{97 — 36\sqrt{3}} = 1 \).

Доказать равенство:

a) \( \sqrt[6]{99 + 70\sqrt{2}} = \sqrt{2} + 1 \);

\[
\sqrt[6]{50 + 70\sqrt{2} + 49} = \sqrt[6]{(5\sqrt{2} + 7)^2} = \sqrt[3]{5\sqrt{2} + 7};
\]

\[
\sqrt[3]{2\sqrt{2} + 6 + 3\sqrt{2} + 1} = \sqrt[3]{(\sqrt{2} + 1)^3} = \sqrt{2} + 1;
\]

Равенство доказано.

b) \( \sqrt[3]{26 — 15\sqrt{3}} = 1 \);

\[
\frac{\sqrt[3]{8 — 12\sqrt{3} + 18 — 3\sqrt{3}}}{\sqrt[4]{49 — 56\sqrt{3} + 48}} =
\]

\[
\frac{\sqrt[3]{(2 — \sqrt{3})^3}}{\sqrt[4]{(7 — 4\sqrt{3})^2}} =
\]

\[
\frac{2 — \sqrt{3}}{\sqrt{7 — 4\sqrt{3} + 3}} =
\]

\[
\frac{2 — \sqrt{3}}{\sqrt{(2 — \sqrt{3})^2}} =
\]

\[
\frac{2 — \sqrt{3}}{2 — \sqrt{3}} = 1;
\]

Равенство доказано.

a) \( \sqrt[6]{99 + 70\sqrt{2}} = \sqrt{2} + 1 \):

Начнем с того, что выразим \( \sqrt[6]{99 + 70\sqrt{2}} \) через более удобное представление. Для этого разложим выражение под корнем и постараемся привести его к виду квадрата или куба:

Рассмотрим следующее выражение:

\( \sqrt[6]{50 + 70\sqrt{2} + 49} \)

Это можно записать как квадрат:

\( \sqrt[6]{(5\sqrt{2} + 7)^2} \)

Теперь извлечем квадратный корень:

\( = \sqrt[3]{5\sqrt{2} + 7} \)

Дальше упростим выражение внутри кубического корня:

\( \sqrt[3]{2\sqrt{2} + 6 + 3\sqrt{2} + 1} \)

Сложим подобные члены:

\( = \sqrt[3]{(\sqrt{2} + 1)^3} \)

Теперь извлекаем кубический корень:

\( = \sqrt{2} + 1 \)

Таким образом, доказано, что:

Равенство доказано.

b) \( \sqrt[3]{26 — 15\sqrt{3}} = 1 \):

Для начала разберем выражение и упростим его, чтобы доказать равенство. Начнем с выражения:

\( \frac{\sqrt[3]{8 — 12\sqrt{3} + 18 — 3\sqrt{3}}}{\sqrt[4]{49 — 56\sqrt{3} + 48}} \)

Рассмотрим числитель и знаменатель по очереди:

Числитель: \( \sqrt[3]{8 — 12\sqrt{3} + 18 — 3\sqrt{3}} \)

Приведем подобные члены:

\( = \sqrt[3]{(2 — \sqrt{3})^3} \)

Теперь знаменатель: \( \sqrt[4]{49 — 56\sqrt{3} + 48} \)

Преобразуем его в квадрат:

\( = \sqrt[4]{(7 — 4\sqrt{3})^2} \)

Таким образом, наше выражение принимает вид:

\( \frac{\sqrt[3]{(2 — \sqrt{3})^3}}{\sqrt[4]{(7 — 4\sqrt{3})^2}} \)

Теперь извлекаем корни:

\( = \frac{2 — \sqrt{3}}{\sqrt{7 — 4\sqrt{3} + 3}} \)

Упрощаем знаменатель:

\( = \frac{2 — \sqrt{3}}{\sqrt{(2 — \sqrt{3})^2}} \)

Теперь из знаменателя извлекаем квадратный корень:

\( = \frac{2 — \sqrt{3}}{2 — \sqrt{3}} \)

Как видим, числитель и знаменатель одинаковы, поэтому:

\( = 1 \)

Равенство доказано.