ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 1012 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите значение выражения:

a) \( \sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2 — \sqrt{2 + \sqrt{3}}} \);

b) \( \sqrt[4]{21 + \sqrt{5}} \cdot \sqrt[4]{5 + \sqrt{4 + \sqrt{5}}} \cdot \sqrt[4]{5 — \sqrt{4 + \sqrt{5}}} \).

Найти значение выражения:

a)
\[
\sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2 — \sqrt{2 + \sqrt{3}}} =
\]

\[
= \sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot \sqrt{\left(2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}\right)\left(2 — \sqrt{2 + \sqrt{3}}\right)} =
\]

\[
= \sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot \sqrt{4 — (2 + \sqrt{3})} = \sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot \sqrt{2 — \sqrt{3}} =
\]

\[
= \sqrt{(2 + \sqrt{3})(2 — \sqrt{3})} = \sqrt{4 — 3} = \sqrt{1} = 1;
\]

Ответ: \( 1 \).

b)
\[
\sqrt[4]{21 + \sqrt{5}} \cdot \sqrt[4]{5 + \sqrt{4 + \sqrt{5}}} \cdot \sqrt[4]{5 — \sqrt{4 + \sqrt{5}}} =
\]

\[
= \sqrt[4]{21 + \sqrt{5}} \cdot \sqrt[4]{\left(5 + \sqrt{4 + \sqrt{5}}\right)\left(5 — \sqrt{4 + \sqrt{5}}\right)} =
\]

\[
= \sqrt[4]{21 + \sqrt{5}} \cdot \sqrt[4]{25 — (4 + \sqrt{5})} = \sqrt[4]{21 + \sqrt{5}} \cdot \sqrt[4]{21 — \sqrt{5}} =
\]

\[
= \sqrt[4]{(21 + \sqrt{5})(21 — \sqrt{5})} = \sqrt[4]{441 — 5} = \sqrt[4]{436};
\]

Ответ: \( \sqrt[4]{436} \).

a) \( \sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2 — \sqrt{2 + \sqrt{3}}} = \)

Начнем с рассмотрения каждого множителя. Обозначим выражение как:

\( \sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2 — \sqrt{2 + \sqrt{3}}} \)

Для упрощения начнем с того, чтобы объединить последние два множителя, которые содержат выражения \( 2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}} \) и \( 2 — \sqrt{2 + \sqrt{3}} \). Для этого используем формулу разности квадратов:

\( (a + b)(a — b) = a^2 — b^2 \)

Применяя эту формулу, мы получаем:

\( \sqrt{\left(2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}\right)\left(2 — \sqrt{2 + \sqrt{3}}\right)} \)

Теперь вычислим разность квадратов для \( 2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}} \) и \( 2 — \sqrt{2 + \sqrt{3}} \):

\( = \sqrt{4 — (2 + \sqrt{3})} \)

Упростим выражение в скобках:

\( = \sqrt{2 — \sqrt{3}} \)

Теперь мы имеем произведение первого множителя \( \sqrt{2 + \sqrt{3}} \) и \( \sqrt{2 — \sqrt{3}} \):

\( = \sqrt{(2 + \sqrt{3})(2 — \sqrt{3})} \)

Используем разность квадратов еще раз:

\( = \sqrt{4 — 3} \)

\( = \sqrt{1} = 1 \)

Ответ: \( 1 \).

b) \( \sqrt[4]{21 + \sqrt{5}} \cdot \sqrt[4]{5 + \sqrt{4 + \sqrt{5}}} \cdot \sqrt[4]{5 — \sqrt{4 + \sqrt{5}}} = \)

Похожим образом разберемся с данным выражением. Начнем с объединения последних двух множителей, которые содержат выражения \( 5 + \sqrt{4 + \sqrt{5}} \) и \( 5 — \sqrt{4 + \sqrt{5}} \). Используем формулу разности квадратов:

\( (a + b)(a — b) = a^2 — b^2 \)

Применяем эту формулу:

\( \sqrt[4]{\left(5 + \sqrt{4 + \sqrt{5}}\right)\left(5 — \sqrt{4 + \sqrt{5}}\right)} \)

Вычислим разность квадратов для \( 5 + \sqrt{4 + \sqrt{5}} \) и \( 5 — \sqrt{4 + \sqrt{5}} \):

\( = \sqrt[4]{25 — (4 + \sqrt{5})} \)

Упростим выражение внутри корня:

\( = \sqrt[4]{21 — \sqrt{5}} \)

Теперь умножим это на первый множитель \( \sqrt[4]{21 + \sqrt{5}} \):

\( = \sqrt[4]{(21 + \sqrt{5})(21 — \sqrt{5})} \)

Вычислим разность квадратов для \( (21 + \sqrt{5}) \) и \( (21 — \sqrt{5}) \):

\( = \sqrt[4]{441 — 5} = \sqrt[4]{436} \)

Ответ: \( \sqrt[4]{436} \).