ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 1010 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Подберите такие значения \( a \) и \( b \), чтобы равенство

\[
\sqrt{9\sqrt{3} — 11\sqrt{2}} = a\sqrt{2} + b\sqrt{3}
\]

было верным.

Найти значения \( a \) и \( b \):

\[
\sqrt[3]{9\sqrt{3} — 11\sqrt{2}} = a\sqrt{2} + b\sqrt{3};
\]

\[
9\sqrt{3} — 11\sqrt{2} = 2\sqrt{2}a^3 + 6\sqrt{3}a^2b + 9\sqrt{2}ab^2 + 3\sqrt{3}b^3;
\]

\[
9\sqrt{3} — 11\sqrt{2} = (6a^2b + 3b^3)\sqrt{3} + (2a^3 + 9ab^2)\sqrt{2};
\]

1) Первое уравнение:
\[
6a^2b + 3b^3 = 9;
\]

\[
3b(2a^2 + b^2) = 9;
\]

\[
2a^2 + b^2 = \frac{3}{b};
\]

2) Второе уравнение:
\[
2a^3 + 9ab^2 = -11;
\]

\[
a(2a^2 + 9b^2) = -11;
\]

\[
a\left(\frac{3}{b} + 8b^2\right) = -11;
\]

\[
a = -\frac{11}{\frac{3}{b} + 8b^2};
\]

3) Если \( b = 1 \), тогда:
\[
a = -\frac{11}{\frac{3}{1} + 8 \cdot 1^2} = -\frac{11}{3 + 8} = -1;
\]

Ответ: \( a = -1; \, b = 1 \).

Найти значения \( a \) и \( b \):

Дано уравнение:

\( \sqrt[3]{9\sqrt{3} — 11\sqrt{2}} = a\sqrt{2} + b\sqrt{3} \);

Для того чтобы найти значения \( a \) и \( b \), начнем с разложения кубического корня:

Из уравнения:

\( 9\sqrt{3} — 11\sqrt{2} = 2\sqrt{2}a^3 + 6\sqrt{3}a^2b + 9\sqrt{2}ab^2 + 3\sqrt{3}b^3 \);

Разделим уравнение на две части: одну для множителей \( \sqrt{3} \), другую для множителей \( \sqrt{2} \):

\( 9\sqrt{3} — 11\sqrt{2} = (6a^2b + 3b^3)\sqrt{3} + (2a^3 + 9ab^2)\sqrt{2} \);

Получили систему уравнений для множителей \( \sqrt{3} \) и \( \sqrt{2} \):

1) Первое уравнение:

\( 6a^2b + 3b^3 = 9 \);

Из этого уравнения можно выделить:

\( 3b(2a^2 + b^2) = 9 \);

Делим обе части на 3:

\( b(2a^2 + b^2) = 3 \);

Теперь можно выразить \( 2a^2 + b^2 \) через \( b \):

\( 2a^2 + b^2 = \frac{3}{b} \);

2) Второе уравнение:

\( 2a^3 + 9ab^2 = -11 \);

Здесь можно выразить \( a \) через \( b \):

\( a(2a^2 + 9b^2) = -11 \);

Теперь подставим выражение для \( 2a^2 + b^2 \) из первого уравнения:

\( a\left(\frac{3}{b} + 8b^2\right) = -11 \);

Выразим \( a \):

\( a = -\frac{11}{\frac{3}{b} + 8b^2} \);

3) Если \( b = 1 \), тогда:

Подставим \( b = 1 \) в уравнение для \( a \):

\( a = -\frac{11}{\frac{3}{1} + 8 \cdot 1^2} = -\frac{11}{3 + 8} = -\frac{11}{11} = -1; \)

Ответ: \( a = -1; \, b = 1 \).