ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 1009 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что верно равенство:

a) \( \sqrt{2 + \sqrt{3}} = \sqrt{\frac{3}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2}} \);

b) \( \sqrt{2 — \sqrt{3}} = \sqrt{\frac{3}{2}} — \sqrt{\frac{1}{2}} \).

Доказать равенство:

a) \( \sqrt{2 + \sqrt{3}} = \sqrt{\frac{3}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2}} \);

\[
2 + \sqrt{3} = \frac{3}{2} + 2 \sqrt{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}} + \frac{1}{2};
\]

\[
2 + \sqrt{3} = 2 + \frac{2\sqrt{3}}{2};
\]

\[
2 + \sqrt{3} = 2 + \sqrt{3};
\]

Равенство доказано.

b) \( \sqrt{2 — \sqrt{3}} = \sqrt{\frac{3}{2}} — \sqrt{\frac{1}{2}} \);

\[
2 — \sqrt{3} = \frac{3}{2} — 2 \sqrt{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}} + \frac{1}{2};
\]

\[
2 — \sqrt{3} = 2 — \frac{2\sqrt{3}}{2};
\]

\[
2 — \sqrt{3} = 2 — \sqrt{3};
\]

Равенство доказано.

a) \( \sqrt{2 + \sqrt{3}} = \sqrt{\frac{3}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2}} \):

Для того чтобы доказать это равенство, начнем с преобразования правой части:

1. Начнем с выражения правой части:

\( \sqrt{\frac{3}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2}} \)

2. Сложим эти два корня, используя формулу разложения суммы квадратных корней:

\( \left( \sqrt{\frac{3}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2}} \right)^2 = \left( \frac{3}{2} + 2 \sqrt{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} \right) \)

3. Упростим выражение:

\( \frac{3}{2} + 2 \sqrt{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} \) равно:

\( \frac{3}{2} + \frac{1}{2} + 2 \sqrt{\frac{3}{4}} \)

4. Дальше вычислим:

\( \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = 2 \), а \( \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \), тогда получаем:

\( 2 + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3} \)

5. Теперь мы видим, что полученное выражение равно левой части уравнения:

\( 2 + \sqrt{3} = 2 + \sqrt{3} \), что доказывает равенство.

Равенство доказано.

b) \( \sqrt{2 — \sqrt{3}} = \sqrt{\frac{3}{2}} — \sqrt{\frac{1}{2}} \):

Аналогично предыдущему доказательству, начнем с правой части уравнения:

1. Рассмотрим выражение правой части:

\( \sqrt{\frac{3}{2}} — \sqrt{\frac{1}{2}} \)

2. Поднимем разность в квадрат:

\( \left( \sqrt{\frac{3}{2}} — \sqrt{\frac{1}{2}} \right)^2 = \frac{3}{2} — 2 \sqrt{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} \)

3. Упростим выражение:

\( \frac{3}{2} — 2 \sqrt{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} — 2 \sqrt{\frac{3}{4}} \)

4. Получаем:

\( 2 — 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 — \sqrt{3} \)

5. Мы видим, что полученное выражение совпадает с левой частью уравнения:

\( 2 — \sqrt{3} = 2 — \sqrt{3} \), что доказывает равенство.

Равенство доказано.