ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 1005 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите область значений функции:

a) \( y = \sqrt[3]{x — 8} \), где \( 0 \leq x \leq 16 \);

b) \( y = \sqrt[3]{x — 4} \), где \( 4 \leq x \leq 85 \).

Постройте график функции.

Найти область значений:

a) \( y = \sqrt[3]{x — 8} \), \( 0 \leq x \leq 16 \);

Функция \( y = \sqrt[3]{x} \) возрастает:
\[
y(0) = \sqrt[3]{0 — 8} = \sqrt[3]{-8} = -2;
\]

\[
y(16) = \sqrt[3]{16 — 8} = \sqrt[3]{8} = 2;
\]

Ответ: \( E(y) = [-2; 2] \).

b) \( y = \sqrt[3]{x — 4} \), \( 4 \leq x \leq 85 \);

Функция \( y = \sqrt[3]{x} \) возрастает:
\[
y(4) = \sqrt[3]{4 — 4} = \sqrt[3]{0} = 0;
\]

\[
y(85) = \sqrt[3]{85 — 4} = \sqrt[3]{81} = \sqrt[3]{3^4} = 3\sqrt[3]{3};
\]

Ответ: \( E(y) = [0; 3\sqrt[3]{3}] \).

Найти область значений:

a) \( y = \sqrt[3]{x — 8} \), \( 0 \leq x \leq 16 \)

Шаг 1: Рассмотрим функцию \( y = \sqrt[3]{x — 8} \), где \( x \) находится в пределах от 0 до 16. Эта функция является функцией кубического корня, которая возрастает на всём своём определённом интервале, то есть чем больше значение \( x \), тем больше значение \( y \). Кубический корень — это монотонно возрастающая функция, что означает, что для увеличения значения \( x \), результат \( y \) будет увеличиваться.

Шаг 2: Найдем значения функции на концах интервала \( [0; 16] \). Для этого подставим \( x = 0 \) и \( x = 16 \) в исходное уравнение:

\( y(0) = \sqrt[3]{0 — 8} = \sqrt[3]{-8} = -2 \);

\( y(16) = \sqrt[3]{16 — 8} = \sqrt[3]{8} = 2 \);

Шаг 3: Поскольку кубический корень непрерывно возрастает на данном интервале, и \( y(0) = -2 \) и \( y(16) = 2 \), то функция принимает все значения от \( -2 \) до \( 2 \) включительно, без пропусков. Таким образом, область значений функции будет от \( -2 \) до \( 2 \).

Ответ: \( E(y) = [-2; 2] \).

b) \( y = \sqrt[3]{x — 4} \), \( 4 \leq x \leq 85 \)

Шаг 1: Рассмотрим функцию \( y = \sqrt[3]{x — 4} \), где \( x \) лежит в интервале от 4 до 85. Эта функция также является функцией кубического корня, а значит, она возрастает на всём интервале, потому что кубический корень из любого числа возрастает, если это число увеличивается. То есть чем больше \( x \), тем больше будет \( y \).

Шаг 2: Найдем значения функции на концах интервала \( [4; 85] \). Для этого подставим \( x = 4 \) и \( x = 85 \) в уравнение функции:

\( y(4) = \sqrt[3]{4 — 4} = \sqrt[3]{0} = 0 \);

\( y(85) = \sqrt[3]{85 — 4} = \sqrt[3]{81} = \sqrt[3]{3^4} = 3\sqrt[3]{3} \);

Шаг 3: Поскольку функция возрастает на данном интервале, и \( y(4) = 0 \), и \( y(85) = 3\sqrt[3]{3} \), то область значений функции будет от \( 0 \) до \( 3\sqrt[3]{3} \) включительно, без пропусков.

Ответ: \( E(y) = [0; 3\sqrt[3]{3}] \).