ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 1004 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите область определения функции:

a) \( y = \sqrt[3]{\frac{x + 2}{x^2 — 4}} \);

b) \( y = \sqrt[4]{\frac{x — 2}{x + 3}} \);

в) \( y = \sqrt[6]{x^3 — 5x^2 + 6x} \).

Найти область определения:

a) \( y = \sqrt[3]{\frac{x + 2}{x^2 — 4}} \);

Область определения:
\[
x^2 — 4 \neq 0, \quad x^2 \neq 4, \quad x \neq \pm 2;
\]

Ответ: \( (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty) \).

b) \( y = \sqrt[4]{\frac{x — 2}{x + 3}} \);

Область определения:
\[
x — 2 \geq 0, \quad x + 3 > 0;
\]

\[
x \geq 2, \quad x > -3;
\]

Ответ: \( (-\infty; -3) \cup [2; +\infty) \).

в) \( y = \sqrt[5]{\frac{x — 3}{|x| — 3}} \);

Область определения:
\[
|x| — 3 \neq 0, \quad |x| \neq 3, \quad x \neq \pm 3;
\]

Ответ: \( (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty) \).

г) \( y = \sqrt[6]{x^3 — 5x^2 + 6x} \);

Область определения:
\[
x^3 — 5x^2 + 6x \geq 0;
\]

\[
x(x^2 — 5x + 6) \geq 0;
\]

\[
D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1, \text{ тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3;
\]

\[
x(x — 2)(x — 3) \geq 0;
\]

\[
0 \leq x \leq 2, \quad x \geq 3;
\]

Ответ: \( [0; 2] \cup [3; +\infty) \).

Найти область определения:

a) \( y = \sqrt[3]{\frac{x + 2}{x^2 — 4}} \)

Шаг 1: Рассмотрим выражение под корнем. Функция \( y = \sqrt[3]{\frac{x + 2}{x^2 — 4}} \) является функцией с кубическим корнем, который определён для всех действительных чисел, так как кубический корень может принимать любые значения. Следовательно, единственным ограничением для области определения будет то, что выражение в знаменателе не может быть равно нулю (так как деление на ноль невозможно).

Шаг 2: Решим неравенство для знаменателя \( x^2 — 4 = 0 \), так как он не должен быть равен нулю:

\( x^2 — 4 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2 \).

Таким образом, \( x \neq \pm 2 \). Это значит, что функция \( y = \sqrt[3]{\frac{x + 2}{x^2 — 4}} \) определена для всех \( x \), кроме \( x = 2 \) и \( x = -2 \).

Ответ: Область определения функции: \( D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty) \).

b) \( y = \sqrt[4]{\frac{x — 2}{x + 3}} \)

Шаг 1: Рассмотрим область определения функции \( y = \sqrt[4]{\frac{x — 2}{x + 3}} \). Для функции с четвёртым корнем выражение под корнем должно быть неотрицательным, то есть:

\( \frac{x — 2}{x + 3} \geq 0; \)

Шаг 2: Чтобы решить неравенство \( \frac{x — 2}{x + 3} \geq 0 \), рассмотрим знак числителя и знаменателя:

— Числитель \( x — 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2 \);

— Знаменатель \( x + 3 > 0 \Rightarrow x > -3 \);

Таким образом, чтобы функция была определена, \( x \geq 2 \) и \( x > -3 \), то есть область определения функции:

Ответ: \( (-\infty; -3) \cup [2; +\infty) \).

в) \( y = \sqrt[5]{\frac{x — 3}{|x| — 3}} \)

Шаг 1: Для функции \( y = \sqrt[5]{\frac{x — 3}{|x| — 3}} \) выражение под пятым корнем определено для всех действительных чисел, так как пятый корень существует для любых значений числителя и знаменателя. Однако, необходимо учесть, что знаменатель не может быть равен нулю, то есть \( |x| — 3 \neq 0 \).

Шаг 2: Решим неравенство \( |x| — 3 \neq 0 \), что даёт условие \( |x| \neq 3 \), то есть \( x \neq 3 \) и \( x \neq -3 \).

Ответ: Область определения: \( D(f) = (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty) \).

г) \( y = \sqrt[6]{x^3 — 5x^2 + 6x} \)

Шаг 1: Для функции с шестым корнем выражение под корнем должно быть неотрицательным, так как шестой корень существует только для неотрицательных значений. Следовательно, нам нужно решить неравенство:

\( x^3 — 5x^2 + 6x \geq 0; \)

Шаг 2: Разложим \( x^3 — 5x^2 + 6x \) на множители:

\( x(x^2 — 5x + 6) \geq 0; \)

\( x(x — 2)(x — 3) \geq 0; \)

Шаг 3: Чтобы решить это неравенство, используем метод знаков. У нас есть три корня: \( x = 0 \), \( x = 2 \), и \( x = 3 \). Рассмотрим знаки выражения на интервалах, образованных этими корнями:

— На интервале \( (-\infty, 0) \) выражение отрицательное;

— На интервале \( (0, 2) \) выражение положительное;

— На интервале \( (2, 3) \) выражение отрицательное;

— На интервале \( (3, +\infty) \) выражение положительное;

Таким образом, выражение будет неотрицательным на интервалах \( [0, 2] \cup [3, +\infty) \).

Ответ: Область определения: \( D(f) = [0; 2] \cup [3; +\infty) \).