ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 873 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите сумму первых пяти членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, второй член которой равен \( \frac{1}{3} \), а отношение суммы последовательности, составленной из квадратов её членов, к сумме этой последовательности равно \( \frac{3}{4} \).

Геометрическая прогрессия:
\[
b_2 = \frac{1}{3}, \quad \frac{b_2^2 + b_2^3 + b_2^4 + \dots}{b_1 + b_2 + b_3 + \dots} = \frac{3}{4};
\]

1) Из первого равенства:
\[
b_2 = b_1 q = \frac{1}{3}, \quad b_1 = \frac{1}{3q};
\]

2) Из второго равенства:
\[
\frac{b_2^2}{1 — q^2} \cdot \frac{1}{1 — q} = \frac{3}{4};
\]

\[
\frac{b_1 (1 — q)}{(1 — q)(1 + q)} = \frac{3}{4};
\]

\[
\frac{3q(1 + q)}{(1 + q)} = \frac{4}{3};
\]

\[
9q^2 + 9q — 4 = 0, \quad |q| < 1;
\]

\[
D = 9^2 + 4 \cdot 9 \cdot 4 = 81 + 144 = 225, \, тогда:
\]

\[
q_1 = \frac{-9 — 15}{2 \cdot 9} = -\frac{4}{3}, \quad q_2 = \frac{-9 + 15}{2 \cdot 9} = \frac{1}{3};
\]

\[
b_{1,1} = -\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} = -1, \quad b_{1,2} = \frac{1}{3} \cdot 3 = 1;
\]

3) Сумма пяти первых членов:
\[
S_5 = \frac{b_1 (1 — q^n)}{1 — q} = \frac{1 — \left(\frac{1}{3}\right)^5}{1 — \frac{1}{3}} =
\]

\[
\frac{3}{2} \cdot \left(1 — \frac{1}{243}\right) = \frac{3}{2} \cdot \frac{242}{243} = \frac{40}{81};
\]

Ответ: \( 1 \frac{40}{81}\).

Задание:

Дана геометрическая прогрессия:

\( b_2 = \frac{1}{3}, \quad \frac{b_2^2 + b_2^3 + b_2^4 + \dots}{b_1 + b_2 + b_3 + \dots} = \frac{3}{4};
\)

1) Из первого равенства:

Задано, что второй член прогрессии \( b_2 = b_1 q = \frac{1}{3} \), откуда можно выразить первый член \( b_1 \):

\( b_1 = \frac{1}{3q};
\)

2) Из второго равенства:

Подставляем значения в равенство для суммы членов прогрессии:

\( \frac{b_2^2}{1 — q^2} \cdot \frac{1}{1 — q} = \frac{3}{4};
\)

Теперь, используя \( b_2 = b_1 q \), получаем:

\( \frac{b_1 (1 — q)}{(1 — q)(1 + q)} = \frac{3}{4};
\)

Упростим выражение:

\( \frac{3q(1 + q)}{(1 + q)} = \frac{4}{3};
\)

После сокращения \( (1 + q) \) получаем:

\( 9q^2 + 9q — 4 = 0, \quad |q| < 1;
\)

Решаем это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\( D = 9^2 + 4 \cdot 9 \cdot 4 = 81 + 144 = 225, \quad \text{тогда:}
\)

Корни уравнения:

\( q_1 = \frac{-9 — 15}{2 \cdot 9} = -\frac{4}{3}, \quad q_2 = \frac{-9 + 15}{2 \cdot 9} = \frac{1}{3};
\)

Так как \( |q| < 1 \), принимаем \( q = \frac{1}{3} \). Теперь находим \( b_1 \):

Для \( q = \frac{1}{3} \): \( b_1 = \frac{1}{3} \cdot 3 = 1;
\)

3) Сумма пяти первых членов:

Используем формулу для суммы первых \( n \) членов геометрической прогрессии:

\( S_5 = \frac{b_1 (1 — q^n)}{1 — q} = \frac{1 — \left(\frac{1}{3}\right)^5}{1 — \frac{1}{3}} =
\)

Выполняем вычисления:

\( \frac{3}{2} \cdot \left(1 — \frac{1}{243}\right) = \frac{3}{2} \cdot \frac{242}{243} = \frac{40}{81};
\)

Ответ: \( 1 \frac{40}{81} \).