ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 871 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Даны последовательности \( (a_n), (b_n), (c_n) \), где \( a_n = \frac{2}{n+1} \), \( b_n = \frac{1}{n} \),

\( c_n = \frac{a_n}{b_n} \).

Найдите \( \lim_{n \to \infty} a_n \), \( \lim_{n \to \infty} b_n \), \( \lim_{n \to \infty} c_n \), если они существуют.

Даны последовательности:

\[
a_n = \frac{2}{n+1}, \quad b_n = \frac{1}{n}, \quad c_n = a_n \cdot b_n;
\]

1) Предел последовательности \(a_n\):

\[
\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} = 0;
\]

2) Предел ряда \(b_n\):

\[
\lim_{n \to \infty} b_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0;
\]

3) Предел последовательности \(c_n\):

\[
\lim_{n \to \infty} c_n = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{n+1} \cdot \frac{1}{n} =\]

\[\lim_{n \to \infty} \frac{2}{n \cdot (n+1)} = 2 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2 + n} = 2.
\]

Ответ: \(0; 0; 2.\)

Задание:

Даны последовательности:

\( a_n = \frac{2}{n+1}, \quad b_n = \frac{1}{n}, \quad c_n = a_n \cdot b_n;
\)

1) Предел последовательности \( a_n \):

Для нахождения предела последовательности \( a_n \) рассмотрим выражение:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} = 0;
\)

Предел этой последовательности равен 0, так как при \( n \to \infty \), \( n \) стремится к бесконечности, и дробь стремится к 0.

2) Предел последовательности \( b_n \):

Для последовательности \( b_n = \frac{1}{n} \) аналогично вычисляем предел:

\( \lim_{n \to \infty} b_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0;
\)

Этот предел также равен 0, так как числитель остается постоянным, а знаменатель стремится к бесконечности.

3) Предел последовательности \( c_n \):

Теперь найдем предел последовательности \( c_n \), которая равна произведению последовательностей \( a_n \) и \( b_n \):

\( \lim_{n \to \infty} c_n = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{n+1} \cdot \frac{1}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{n(n+1)};
\)

Для упрощения выразим предел как произведение двух частей:

\( 2 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2 + n};
\)

Так как \( n^2 + n \) стремится к бесконечности при \( n \to \infty \), то \( \frac{1}{n^2 + n} \to 0 \). Таким образом:

\( \lim_{n \to \infty} c_n = 0;
\)

Ответ: \( 0; 0; 0 \).