Учебник «Алгебра. 9 класс. Углубленный уровень» под редакцией Макарычева заслуженно считается одним из самых популярных и востребованных пособий для изучения алгебры в школах. Этот учебник выделяется своей структурой, содержанием и подходом к обучению, который позволяет глубже понять основные математические концепции.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 871 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Даны последовательности \( (a_n), (b_n), (c_n) \), где \( a_n = \frac{2}{n+1} \), \( b_n = \frac{1}{n} \),
\( c_n = \frac{a_n}{b_n} \).
Найдите \( \lim_{n \to \infty} a_n \), \( \lim_{n \to \infty} b_n \), \( \lim_{n \to \infty} c_n \), если они существуют.
Даны последовательности:
\[
a_n = \frac{2}{n+1}, \quad b_n = \frac{1}{n}, \quad c_n = a_n \cdot b_n;
\]
1) Предел последовательности \(a_n\):
\[
\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} = 0;
\]
2) Предел ряда \(b_n\):
\[
\lim_{n \to \infty} b_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0;
\]
3) Предел последовательности \(c_n\):
\[
\lim_{n \to \infty} c_n = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{n+1} \cdot \frac{1}{n} =\]
\[\lim_{n \to \infty} \frac{2}{n \cdot (n+1)} = 2 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2 + n} = 2.
\]
Ответ: \(0; 0; 2.\)
Задание:
Даны последовательности:
\( a_n = \frac{2}{n+1}, \quad b_n = \frac{1}{n}, \quad c_n = a_n \cdot b_n;
\)
1) Предел последовательности \( a_n \):
Для нахождения предела последовательности \( a_n \) рассмотрим выражение:
\( \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} = 0;
\)
Предел этой последовательности равен 0, так как при \( n \to \infty \), \( n \) стремится к бесконечности, и дробь стремится к 0.
2) Предел последовательности \( b_n \):
Для последовательности \( b_n = \frac{1}{n} \) аналогично вычисляем предел:
\( \lim_{n \to \infty} b_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0;
\)
Этот предел также равен 0, так как числитель остается постоянным, а знаменатель стремится к бесконечности.
3) Предел последовательности \( c_n \):
Теперь найдем предел последовательности \( c_n \), которая равна произведению последовательностей \( a_n \) и \( b_n \):
\( \lim_{n \to \infty} c_n = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{n+1} \cdot \frac{1}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{n(n+1)};
\)
Для упрощения выразим предел как произведение двух частей:
\( 2 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2 + n};
\)
Так как \( n^2 + n \) стремится к бесконечности при \( n \to \infty \), то \( \frac{1}{n^2 + n} \to 0 \). Таким образом:
\( \lim_{n \to \infty} c_n = 0;
\)
Ответ: \( 0; 0; 0 \).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.